文档介绍：对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用
对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应
用
第9卷第5期
2007年10月
遵义师范学院
JournalofZunyiNormalCollege
,
Octf(x,),):娟,,则I, f(x,y)ds=O;7,~f(x,y)ly,x),\lx,y)ds=2\LI,
其中为在直线),一侧的部分.
推论2谩,),)在光滑或分段光滑的平面曲线 上可积,关于直线x=(2ay)=-f(x,,
则J,,y)ds=O;7,~f(2a-x,舭),),则J,y)ds=2I,LLL,
/,y,其中为在直线x=a一侧的部分.
推论3i~f(x,在光滑或分段光滑的平面曲线 上可积,关于直线y=-y)=-f(x,y),
则Jf(x,y)ds=0;~f(x,2b-y)=f(x,),),则J,y)ds=2 },f(x,y)ds,其中L为L在直线y=b一侧的部分. 与定理l类似,可以证得:
定理2设,),)在光滑或分段光滑的平面曲线 上可积,,)关于点6)为奇函 数,即f(2a-x,2b-y)=娟,),),则f,/,y)ds=0;~f(x,关 于点6J为偶函数,~Uf(ea—,2b专舷,),),则J,/, ds=2I,,,其中L=Lu.,L为L关于点6J对
称的一半.
推论l设瓶上可积,其中为连接点6J
与点fc,+c—6+d—,,则J,, :D;若+c,b+d-y)=f(x,y),则』=2』讹
,其中为的一半.
推论2设在连接点(0,O)与点(1,1)的线段
(1)},郧in,siny)ds=l,0cosy)ds,其中L为
ig#~A(o,o)与点(,ff,)的线段;
(2)I,inx,cosy)&=f,0siny)ds,其中L为 ig~A(o,o)与点(,qI")的线段;
(3)J,(x+y)f(sinx,siny)ds='rrj,inx,siny)ds,其中 L为连接点(O,O)与点(1T,1T)的线段.
证明:令g(x,y)=(x+y)f(sinx,siny)-'rrf(sinx,siny),容
易验证g(1T—x,1T-y)=一g(X,y).于是由定理2的推论1, 有I,,=I,【(x+y)f(sinx,siny)一"rrf(sinx,siny)]ds=O
从而(3)(1)与(2).
对于定义在空间曲线,空间曲面上的三元函数 的第一类曲线积分和第一类曲面积分也有类似结 果,限于篇幅,,定理2的 推论2的(3)应相应改为
J(x+y+z)f(sinx,siny,=孚JJ(sinx,siny,s 4+yss,)(=孚《郧,
其中L为连接点(o,0,o)与点(,,孚)的线段,?为二二二 关于连接点(o,0,o)与点,1T,1T)的线段的中点(,,二厶 要)对称的曲面.
对于第二类曲线积分和第二类曲面积分,定理 有向小弧段在坐标轴上的投影(关于平面对称的有 向小曲面块在坐标面上的投影)的绝对值不一定相 ,这些结论的证明与