文档介绍：关于用空间向量求空间角
现在学****的是第1页，共22页
复****回顾
直线的方向向量:两点
平面的法向量：三点两线一方程
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
则(1)a·b＝ .
a1b1＋a2b2＋a3关于用空间向量求空间角
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复****回顾
直线的方向向量:两点
平面的法向量：三点两线一方程
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
则(1)a·b＝ .
a1b1＋a2b2＋a3b3
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设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ ⇔ .
⑵ l1⊥l2⇔ ⇔ .
⑶ α∥β或α与β重合⇔ ⇔ .
⑷α ⊥ β⇔ ⇔ .
⑸l∥α或l⊂α⇔ ⇔ .
⑹ l ⊥ α⇔ ⇔ .
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a∥b
a＝ tb
a⊥b
a· b ＝ 0
n1∥n2
n1＝tn2
n1＝t a
n1∥ a
n1⊥n2
n1 · n2＝ 0
n1⊥ a
n1 · a ＝ 0
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引例：
求二面角M-BC-D的平面角的正切值；
求CN与平面ABCD所成角的正切值；
求CN与BD所成角的余弦值；
(4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值
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范围：
一、线线角：
异面直线所成的锐角或直角
思考：空间向量的夹角与
异面直线的夹角有什么关系？
结论：
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x
z
y
② 向量法
A
D
C
B
D1
C1
B1
A1
E1
F1
方法小结
① 传统法：平移
，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？
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所以 与 所成角的余弦值为
解：如图所示，建立空间直角坐标
系 ,如图所示，设 则：
所以：
练****br/>现在学****的是第7页，共22页
[悟一法]
利用向量求异面直线所成的角的步骤为：
(1)确定空间两条直线的方向向量；
(2)求两个向量夹角的余弦值；
(3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
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直线与平面所成角的范围：
结论：
二、线面角：
直线和直线在平面内的射影所成的角，
叫做这条直线和这个平面所成的角.
思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？
A
O
B
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例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
①向量法
② 传统法
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N
解：如图建立坐标系A-xyz,则
即
在长方体 中，
练****br/>现在学****的是第11页，共22页
N
又
在长方体 中，
练****br/>现在学****的是第12页，共22页
[悟一法]
利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：
(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；
(2)求两个向量夹角的余弦值；
(3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.
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二面角的平面角必须满足：
3）角的边都要垂直于二面角的棱
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
10
l
O
A
B
三、面面角：
现在学****的是第14页，共22页
l
l
三、面面角：
向量法
关键：观察二面角的范围
现在学****的是第15页，