文档介绍：高等代数课件
2008
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第五章 向量空间
向量空间的定义
向量的线性相关性
基维数和坐标
子空间
向量空间的同构
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§ 向量空间的定义
一、向一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
把F中的元素用a，b，c，…来表示. 如果下列条件
被满足，就称V是F上的一个向量空间：
1 V有一种加法运算. 即对V中任意两个元素和
，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为
与的和，记为 .
2 有一个F中元素与V中元素的乘法运算. 即对于
F中的任意数a和V中的任意元素，在V中有一个唯
一确定的元素与之对应，称为a和的数量积，记为
a .
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3 上述加法和数量乘法满足下列运算规律：
1) = ；
2) ( ) ＝ ( ) ；
3) 在V中存在一个元素0，使得对于任意V，都有
0 = ,（具有这个性质的元素0称为V的零元素）;
4) 对于V中的每一个元素，存在V中的元素，使得
＝0,（具有这个性质的元素叫做的负元素）;
5) a ( ) = a a ；
6) (a+b) =a b ；
7) (ab) =a (b ) ；
8) 1 = .
这里，，是V中的任意元素，a，b是F中的任意数.
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例5 令C [a, b]为闭区间[a, b]上所有实连
续函数的集合，R为实数域。则C [a, b]对函
数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数
域R上的向量空间.
三、向量空间的例子
由例1、例2、例3、例4及向量空间的定义知，复数域C作成实数域R上的向量空间；V2作成实数域R上的向量空间； Fn[x] 作成数域F上的向量空间； Mmn (F)作成数域F上的向量空间。
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例6 设V为正实数集，R为实数域，在V中
规定加法和数量乘法运算如下：
= （即与的积）
k = k （即的k次幂）
其中, V, kR.
对任意的 ， V , kR，有 = V,
= k V.
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并且，对任意的 , , V，k,m R，有
5) k ( )=k ()=()k= k k=k k ；
4) 对任意的 V，存在 -1 V，使得 -1 = -1 =1， -1是的负向量.
1) = = =
2) ( ) =() =() =( )= ( )= ( )
3) I =1 = ，1是V中的零向量；
6) (k+m) = k+m =km=k m
7) (km) =km=(m)k =k m=k (m )
8) 1 = 1 = .
所以，v对我们定义的加法和数乘运算作成数域R上的向量空间.
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例7 令V是次数等于n的全体实系数多项
式组成的集合.
因为两个n次多项式的和未必是n次多项式.
例如，f (x)＝xn－1, g(x)＝－xn+x，则f (x)＋
g(x) =x-1，不再是n次多项式.
所以在多项式的加法及数与多项式的乘法
运算下，V不是实数域R上的向量空间.
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例8 任意数域F总可以看成它自身上的向量空间.
例9 实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上的一个向量空间.
二. 性质
在一个向量空间V中, 零向量是唯一的; 对于V中的每一向量, 的负向量是由唯一确定的. 的负向量记作 .
对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
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三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间.
如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a.
设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩