文档介绍：矩阵的合同变换
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矩阵的合同变换
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，根本交换。在?高等代数?里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，
如对二次型应用
例 求一非线性替换，把二次型
二次型矩阵为
对A相同列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换
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可把二次型化为标准型
解法〔2〕
此时
此时非线性退化替换为
发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的
特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性
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[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？
例3．用可逆性变换化二次型
解：
对二次型矩阵为
标准形，那么
[注]当P改变两行的位置交换后，发现
定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，那么假设有
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，那么调整P的任意两行，对角阵形式不变。
证明：设初等变换的对调变换矩阵为J，显然于是有
而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，
因此任意调整P的行，所得对角阵相同。
[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？
例4．求实对称矩阵求可逆阵P使得为对角阵
我们得到
定理7：设 对称矩阵，B为对角矩阵，假设要调换B对角线上任意两个元素的位置得到，那么只要调控B中对左的两列，可得到P，使得
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，即P的列与B中元素的对应性。
证明：初等调换矩阵为J，显然
与相比，只是列的排列顺序发生了改变
的列与B的对角线上元素具有对应性
自己写例
定理8：如果对角线上的元素分别扩大得，那么不要将P中对应的对应角线元素扩大，即可得到使得
证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为〔对角线上第J个元素〕形，那么有
中第J个元素为B的倍而，且其中对角线J个元素是P中对角线元素CJ倍。
例：对称矩阵求可逆矩阵P，使且对角形式
解
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对单位阵E进行相应列初等变换得
那么有
那么此时有得
综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。
主要参考文献
[1]北大数学系，高等代数第二版
[2]上海交大线性代数编写。线性代数〔第三版〕[M]
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[3]张禾瑞 高等代数[M]
[4]付立志?对称矩阵对角化相似变换模型?
[5]王晓玲?矩阵三种关系问联系?
[6] Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141－154
矩阵的合同变换及性质
定义：设A，B是数域F上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P使得成立，那么 B与A合同
特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。
引理1：在矩阵中，任意对角矩阵与合同J对角阵
证明：①数学归纳法
当时，定理显然成立
设时，定理对阶对称阵成立，A上阶对称囝
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假设那么A本身已为对角阵
不妨设
〔1〕讨论A的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得
这里是阶对称阵，由归纳假设，存在那么有阶可逆阵，使现取
那么
〔2〕假设，由，可通过对应的行列初等变换，使问题归结到i的情怀
合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型化简，一般都归结为对称实矩阵A的合同变换在
特性1：合同变换具有模型化，程序化的简便性
定理1：假设在对称矩阵A的下六并上一个单位矩阵，作列变换，那么对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时， 单位阵成为A的合同变换矩阵。
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特性2：合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈
例：实对称矩阵求可逆矩阵P，使为对角矩阵
解由于且，可见为使 为对角矩阵，实质上是使合同于对角矩阵
故可逆矩阵
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〔2〕
定理3：设为对称矩阵，B为对角矩阵，假设要调换B的对角线上任意两个元素的位置得到，那么只要调换P中对应两列，可得到，使得，即P的列与的列与B具有对应性。
说明：没妆等变换的对调多换矩阵为J，显然，
与相比， 列的排列顺序不同，因此，P的列与