文档介绍：九年级数学(上)第一章证明(二)
(1)
勾股定理与它的逆定理的证明
驶向胜利的彼岸
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=(pythagoras theorem).
开启智慧
a
c
b
勾
弦
股
驶向胜利的彼岸
勾股定理的证明
我能行
1
方法一: 拼图计算
方法二:割补法
方法三:赵爽的弦图
方法四:总统证法
方法五:青朱出入图
方法六:折纸法
方法七:拼图计算
这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?
总统证法
回顾反思
1
′
驶向胜利的彼岸
这个证明方法出自一位总统, 1881年,伽菲尔德(. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式。
图中三个三角形面积的和是
2×ab/2+c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;
比较可得:c2 = a2+b2 。
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。.
勾股定理不只是数学家爱好,魅力真大!
a
b
a
b
c
c
驶向胜利的彼岸
勾股定理的逆定理
我能行
2
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.
a
c
b
A
B
C
(1)
驶向胜利的彼岸
逆定理的证明
我能行
2
证明:作Rt △A′B′C′使∠C′=900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.
a
c
b
A
B
C
(1)
a
c
b
B′
A′
C′
(2)
A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).
∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图),
∴ AB2=A′B′2(等式性质).
∴ AB=A′B′(等式性质).
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A=∠A′= 900(全等三角形的对应边).
∴△ABC是直角三角形(直角三角形意义).
几何的三种语言
回顾反思
1
′
驶向胜利的彼岸
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
这是判定直角三角形的根据之一.
在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).
a
c
b
A
B
C
(1)
驶向胜利的彼岸
命题与逆命题
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形
观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.
再观察下面两组命题:
如如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如如果两个角相等,那么它们是对顶角如;
如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;
上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.
开启智慧
驶向胜利的彼岸
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
开启智慧
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?
它们都是真命题吗?
想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?
驶向胜利的彼岸
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
开启智慧
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
你还能举出一些例子吗?
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.