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华东师范大学2019年攻读硕士学位研究生入学试题
一(12分)设f(x)是区间I上的连续函数。证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I上严格单调。
二(12分)设
证明：若f(x),D(x)f(x)在点x=设f在［a,b］中任意两点之间都具有介值性，而且f在(a,b)内可导，|f(x)怪K(正常数)，x亡(a,b).证明f在点a右连续(同理在点b左连续).
1cn
四.(14分)设In=Jo(1-x)：
(1) In
2n
2n 1
In」，n=2,3 …;
,一2…
In--~7=，n=1,2,3• .
3乂n
五(12分)设S为一旋转曲面，由平面光滑曲线H(x),xw［a,b］(f(x)之0)饶
x轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为
222.、
(提示：据空间解几知道s的方程为y+z=f(x))
六(24分)级数问题：
sinx
J，x=0(k),
设f(x)=<x，求f(0)o
,1,x=0
n
设Zan收敛，limnan=0证明：
nTn>：：
设｛fn(x)｝为［a,b］上的连续函数序列，且
证明：若f(x)在［a,b］上无零点。则当n充分大时fn(x)在Ia,b］
上也无零点，并有
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一.(30分)简单计算题.
xt22
1)验证：当xt十g时，2x1。edt与ex为等价无穷大量.
2)求不定积分产：x)dx。
x
2
3)求曲线积分：I=』(y—cosy)dx+xsinydy,
OA
其中有向曲线OA如图所示.
4)设f为可微函数，u=f(x2+y2+z2)
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和方程3x2y2z3=6xyz(*)
Fu
试对以下两种情形，分别求——在点Po(1,1,1)处的值：?x
(D由方程(*)确定了隐函数：z=z(x,y);
(2)由方程(*)确定了隐函数：y=y(x,z).
222
,,,xyz,,,,
二.(12分)求由椭球面f+上了+f=1与锥面
abc
222
xyz^
—+-^2——=0z以所围0体的体积。
abc
三.(12分)证明：若函数f(x)在有限区间(a,b)内可导，但无界，则其导
‘
函数f(x)在(a,b)内亦必有界.
n
四.(12分)证明：若£an绝对收敛，则£an(a1十a2十…十an)亦必绝n1n-1
对收敛.
五(17分)设f(x)在［0,1］上连续，f(1)=0.
证明：
{xn}在此1】上不一致收敛；
{f(x)xn}在b,1］上一致收敛。
六(17分)设函数f(x)在闭区间［a,b］上无界，证明：
1)gx#ub,b】，使；l/(xn)=00;
2)设wla,b］，使得：v000,f(x)在(c—6,c+6)c［a,b］上无界。
(若能用两种不同方法证得2),奖励5分)
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(12分)计算:
2nsin(n2)
2n2n-100
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2. lim(
x—..0
sin x
o一，23、
，由方程F(xy,yz,zx)=0确定了z为x与y的函数，求zx,zy在点(1,1)的值.
二.(15分)设函数f,g均在(a,b)内有连续导数，且对于任何xw(a,b),
''
有F(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)>0,求证：
f,g不可能有相同的零点;
f的相邻点之间必有g的零点；
在f(x)的每个极值点x0w(a,b)，存在x0的某邻域，使得g(x)在该邻域中是严格单调的.
2a3..一.
三.(15分)设初始值a1二R给定，用递推公式an书=nr(n=1,2...)
1an
得到数列｛an｝。
.求证数列｛an｝收敛；
.求｛an｝所有可能的极限值；
.试将实数轴R分成若干个小区间，使得当且仅当在同一区间取初始值，｛an｝都收敛于相同的极限值.
222
.(12分)设a>c>0,求椭球体-―M+备=
.(18分)设数列｛an｝有界但不收敛，求证：
8
nx
.对于任何x>0,乙ane收敛；
n=1
qQ
.对于任何6>0,I-anef在［^,十°°)上一致收敛；n=1
0a
、：-nx
.乙ane在(0,十8)上不一致收敛.
n1
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六.(12分)设函数f(x)在［0,1］上连续，求证：
七.(16分)设函数f在10,a】上严格递增，且有连续导数，f(0)=，求证：
f(x)x
对于任何xw[0,a],都有[0(