文档介绍：高中圆的基本概念与点圆关系知识点与答案解析
第一节圆的基本概念
圆的标准方程：(%- d)~ + (y- bf = r2 (圆心(a,b),半径为r )
例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径
x2 + (y + 3)2 = 2； (，
•••| OC\=加+ 2)2 +(0-1)2 = 75 ,
原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为I OC I +r= V5 +3
/. %2 + J2 的最大值为(V5+3)2 =14+6^5 o
圆的一般方程的特点：
①X，和站的系数相同，不等于0。
②没有xy这样的二次项。
圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,只要求出这三个系数，圆的方 程就确定了。
与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。
圆的一般方程变形
如果+ W+ Cy2 +Dx+Ey+F=0是圆，一定有(1) a=30； (2) B=0；⑶ D2+E2-4AF>0o反之，也成立。
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆 心及半径。
4x2 + 4y2 - 4x+ 12y+ 9= 0
4x2 + 4/- 4x+ 12y+ 11= 0
例2：方程x2+y3+4mx-2y+5m=0表示圆时，m的取值范围是(
A. —< m<l B. m> \ C. m < — D. —或〃z> 1
4 4 4
例3：如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时圆心坐标为()
A. (-1, 1) B. (1, -1) C. (T, 0) D. (0, -1)
例4 :圆x2 +y2 -2axco^ + 2aysin0 -0的圆心坐标为,半径
为.
例 5：方程 x2+y2-2 (m+3) x+2 (l-4m2) y+16m4+9=0 表示一个圆。
1：求实数m的范围。
2：求该圆半径r的范围。
3：求圆心C的轨迹的普通方程。
解：(1)方程表示圆的充要条件是D2+ E2- 4F> 0,即：
4 03) 2+4(l-W) J (16/+9) >0,
解之得-L〈冰i. 7
,= S+£—4e ,得到r的取值范围
2
设圆心为(x, y),
f x = m +3
则 b =4m -1
消去〃得：y=4(x-3)2-l,
7
.20 ...
・• — \X\4i,
7
70
即轨迹为：7=4 (才-3) 2-1 (一-〈才〈4) o
7
例6：已知实数工,y满足等式3-4)2 +(y + 3)2 = 9,求工+)的最值。
第二节点与圆的关系
点M(%0,y0)与圆(x- af + (y- by = r的关系的判断方法
(丽-4+(%-济> 己点在圆外
(x0- a)2+(y0- b)2 = r2，点在圆上
(^- a)2+(y0- b)2<r2,点在圆内
例1： ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,- 3),C(2,- 8),求它的外接圆的方程。
解析：用待定系数法确定a、b、r三个参数。
例2：已知圆经过点A(l,l)和3(2,-2),且圆心在Z:x- y+l=O上，求圆的标准方 程。
解析：圆心为C的圆经过点A(l,l)和3(2,- 2),由于圆心C与A,B两点的距离相等,