文档介绍：辅导讲义一一圆的方程
教学内容
知识模块1圆的方程
圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.
确定个圆最基本的要素：是圆心和半径.
圆的标准方程
(x—a)2+(y—b)2=r2(r>0),其中(a,》)为圆心2=1
解析由题意知圆。的圆心为(0,1),半径为1,所以圆。的标准方程为并+ 3—1)2=1.
题型二：点与圆的位置关系
［例］已知两点尸(一5,6)和05, -4),求以P,。为直径端点的圆的标准方程，并判断点4(2,2), 3(1,8),。(6,5)是在圆
上，在圆内，还是在圆外.
由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，
圆心M的坐标为(0,1),
半径 r=^\PQ\ =|X^/(―5—5)2+(6+4)2=5^2.
.•.圆的标准方程为,『+3—1)2=50.
\AM\ =：(2一。尸+(2—1尸=y［5<r,
.•.点A在圆内.
\BM\ =^/(1-0)2+(8-1)2=倾=广，
点3在圆上.
'：\CM\=/(6—0)2 + (5-1)2=^52>/',
点。在圆外.
.•.圆的标准方程为"+3—1)2=50.
点A在圆内，点、B在圆上，点C在圆外.
［巩固］判断点肱(6,9), M3,3), 0(5,3)与圆3—5)2+3—6)2=10的位置关系.
圆的方程为(,r_5)2+(y—6)2= 10,
分别将肱(6,9), M3,3), 0(5,3)代入得
(6—5尸+(9—6)2 = 10,
.♦.M在圆上；
(3-5)2+(3-6)2 = 13>10,
.♦.N在圆外;
(5-5)2+(3-6)2=9<10,
.•.6>在圆内.
题型三：与圆有关的最值问题
x-a
［例］已知实数X、+/-4x+l=o,求】的最大值和最小值.
如图，方程对+》2—4尤+1= 0表示以点(2,0)为圆心，以可§为半径的圆.
设*=*'即 >=奴， 则圆心(2,0)到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.
由Kt °l=",解得妙=3,
、/好+1 ［巩固］己知实数工、y满足方程*+34)2=4,求z = M2的取值范围.
x + 1
y = x+z形式
［例］已知实数％、y满足方程对+寸一耳工+i=o,求y—x的最小值.
设y~x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，截距力取最小值，由点到直线的距离公式,
得上髀=皿，即2瑚，
故(y—x)min= ~2—y［6.
［巩固］已知：x2 + y2 = 2,求x-2y的最小值.
(X —1)2 + (y — Z?)2形式
［例］己知实数工、y满足方程x2+y2—4x+l=0,求x2+y2的最大值和最小值.
x2+y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OG
与圆交于B点，并延长交圆于C',则
32+y2)max=|OC' |2 = (2+,)2 = 7 + 4屯，
(必+矿)血=|。8|2=(2—")2=7—4鹏.
［巩固］己知实数工、y满足01)2+)2=16,求3+1)2+32)2的最值.
题型四：与圆有关的轨迹问题 ［例］自圆,r2 + y2 = 4±的点A(2,0)引此圆的弦求弦AB的中点轨迹方程.
设 AB 的中点 P(x, y), B(xi, yi),则有 xi2+yi2=4, JLx=X>^,
..,vi = , yi = 2y.
?. (2x-2)2 + (2y)2 = 4,即(x-l)2+y2=l.
当A, B重合时，P与A点重合，不合题意,
所求轨迹方程为(X— 1尸+》2 = 1(X尹2).
［巩固1］设定点M( —3,4),动点N在圆,r2+/ = 4±运动，以OM、CW为两边作平行四边形MCWF,求点F的轨迹.
线段MN的中点坐标为
.由于平行
如图所示，设P(x, y), N(xo, yo),则线段OP的中点坐标为食
四边形的对角线互相平分，
,,_x xp~3 y yo+4 fxo=x+3 故万=乙一，2=乙一•从而"o=y_4 .
N(x+3, y—4)在圆上，故(x+3)2+(y—4)2=4.
因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y—4)2=4, 但应除去两点(一|,号和(一亨，晋)(点P在直线上的情况).
［巩固2］ (2014-课标全国I )已知点P(2,2),圆C： x2+y2-8y=0,过点P的动直线/与圆C交于A, B两点，线段AB 的中点为M, O为坐标原点，求M的轨迹方程.
圆C的方程可化为x2+(j—4)2= 16,
所以圆心为C(0,4),半径为4.
设 M(x, y),则CM=