文档介绍：1 / 50
立体几何中的向量方法
适用学科
高中数学
适用年级
高中二年级
适用区域
通用
课时时长（分钟）
90
知识点
用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题.
教学目标
1. 理解直线的方向向量“向内”，而另一个“向外”.
x
y
z
O
图二
对第二个问题，我们需要选取一个参照物. 在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy平面的关系，是自下而上穿过xOy平面呢，还是自上而下穿过
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xOy平面？若是第一种情形，则与所夹的角是锐角，只需取法向量的z坐标为正即可；若是第二种情形，则与所夹的角是钝角，只需取法向量的z坐标为负即可．若法向量与xOy平面平行，则可以选取其它如yOz平面、zOx平面观察．
（二）用半平面内的向量解二面角
由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．
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考点3 空间直线与空间平面的向量形式
在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、证明的目的．在立体几何中借用向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的．
1．空间直线：如果 l为经过已知点A且方向向量为的直线，那么点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式，或对任一点O（通常取坐标原点），有
这是空间直线的向量形式．
2．空间平面：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对s、t，使
或对空间任一定点O（通常取坐标原点），有
这是空间平面的向量形式．
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四、例题精析
【例题１】如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；
(Ⅱ)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的大小；
A
B
C
D
S
E
F
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【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，．
取的中点，则．
平面平面，
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所以平面．
（2）不妨设，则．
平面AEFG与x轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、G(0,0,1)，与y轴无交点，则法向量，在CD延长线上取点H，使DH＝AE，则DH ∥ AE，所以AH∥ED，由（1）可知AG∥EF，所以平面AHG∥平面EFD，平面AHG与x轴、y轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、H(0,－ ,0)、G(0,0,1)，则法向量，设二面角A－EF－D的大小为a ，则
，即二面角A－EF－D的大小为．
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【例题２】 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝＝1，M是PB的中点.
（1）求二面角C-AM-B的大小；
（2）求二面角A-MC-B的大小.
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【解析】如图建立空间直角坐标系，则对二面角C-AM-B而言，是平面AMB的法向量（向内），易知平面ACM符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy平面，所以与所夹的角是锐角. 对二面角A-MC-B而言，平面ACM选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy平面，与z轴正向所夹的角是钝角.
x
y
z
（1）如图，以AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB的法向量为＝(1,0,0), 设平面ACM的法向量为＝(x,y,z).
由已知C（1, 1, 0), P(0, 0, 1), B(0, 2, 0)，则M(0, 1, ),
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∴ ＝(1, 1, 0), ＝(0, 1, ).
由 取y＝ -1，则x＝1, z＝2，
∴ ＝(1, -1, 2). （满足·>0）.
设二面角C-AM-B的大小为q ，则cosq ＝,
∴ 所求二面角的大小为arccos.
（2）选取（1）中平面ACM的法向量＝(1, -1, 2)，设平面BCM的法向量为
＝ (x,y,z).
＝ (1, -1, 0), ＝ (0, -1, ),
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