文档介绍：.
学****目标：1•了解平面向量基本定理及其意义.（重点）2•能应用平面向量基本定理解决一些实际问题.（难点）［自主预****探新知］
平面向量基本定理
如果ei,e2（如图2-3-5①所示）是同一平面内的两个不共线如图2-3-6所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若AB=a，AD=b,试用a，b表示DC，BC，MN.
图2-3-6
a
［解］如图所示，连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.
则DC=AN=qAB=qa；1—1
BC=NC-NB=AD—b—qa；1-
MN=CN—CM=—AD—qCD
一AD—2—1aB二4a—b.
陕翌聲…一
平面向量基本定理应用［探究问题］
如果ei,e是两个不共线的确定向量，则与ei,e在同一平面内的任向量a,能否用ei,e表示？依据是什么?
提示：.
1. 如果ei,e2是共线向量，那么向量a能否用ei,e2表示？为什么?
【导学号：64012115】
提示：,e2中的一个非零向量共线时可以表示，否则不能表示.
，向量分解形式唯一吗?
提示：向量分解形式唯例如图2-3-7，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN
=2NC,AM与BN相交于点P,求AP:PM与BP:-3-7［思路探究］以BM与CN为基底利用平面向量基本定理求解,
题时注意条件A、P、M和B;PN分别共线的应用.
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看欄㈱攣曝
［解］设bM=ei,CN=e2.
—7—7—7—7—7—7
则AM=AC+CM=—3e?-&,BN=BC+CN=2ei+e2.
•••A,P,M和B,P,N分别共线，
•••存在实数入卩使得AP=於M=—2ei—3^2,
BP=(BN=2Qi+區.
故BA=BP+PA=BP—AP=(A+2Qei+(3+Qe2.
而Ba=BC+Ca=2ei+3e2，由平面向量基本定理，+2尸2,
得)解得
4
A4,
3
尸5.
A+尸3,
•AP:PM=4:i,BP:PN=3:2.
母题探究
i.（变设问）在本例条件下，若CM=a,CN=b,试用a,b表示CP.
［解］由本例解析知BP:PN=3:2,
则nP=5nb,cp=CN+nP=CN+5nb=
->B-c/V25
+
b
CN
,4234b+5—5b=5b+5a.
2.（变条件）若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP:PM与BP:PN.
［解］如图，设BM=ei,Cn=e2,
则AM=AC+CM=—2e2—ei,BN=BC+CN=2ei+e2,
•••A,P,M和B,P,N分别共线,
•••存在实数入"使得AP=g\M=一gi—2g2,
BP=(BN=2Qi+"2.
故BA=BP+PA=BP—AP=g2"•+(2+”e2.
而BA=BC+CA=2ei+2e2，由平面向量基本定理,•••AP=lAMI,
H2尸2,得t
i2H尸2,
23
后
23
尸
BP=3bn,
•••AP:PM=2,BP:PN=2.
［规律方法］用向量解决平面几何问题的一般步骤
1选取不共线的两个