文档介绍：偏微分方程课件
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数学物理方程指从物理学或其他各门自然科学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方程(有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
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取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOU
O
U
X
P
Q
L
在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t)
O
U
X
P
Q
上图中PQ的放大图示
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假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为
即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。根据Hooke定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关，只与x有关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。
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(*1)
(*2)
设为弦的线密度(单位长度的质量)，　为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度(单位长度的力)，根据牛顿第二定律，
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(*1)
这表明张力的大小与 x 也无关，即
常数
(*2)
，微分中值定理
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令
，可得微分方程方程
弦是均匀的，故为常数，记
方程改写为
刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。
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为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件
或者(以及)边界条件
已知端点的位移
已知在端点受到垂直于弦的外力的作用
已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合
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2+1维波动方程或膜振动方程
一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足
其中：
u(x,y,t)表示在 t 时刻、膜在 (x,y) 点处的位移
f (x,y,t)表示单位质量所受的外力
a2=T/： T表示张力、 为线密度
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3+1维波动方程或声波方程
n+1维波动方程
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热传导方程
热传导
分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm= ρdx，热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则
问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。
由能量守恒定律
cdmdu=dQ
=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt
=-qx(x,t)dxdt
于是有
c ρut = -qx
由热传导定律
q(x,t) = -k ux(x,t)
代入前面的式子，得到
c ρut = k uxx
ut = a2 uxx
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推广：
情况：内部有热源(或侧面不绝热)
分析：设热源强度(单位时间在单位长度
中产生的热量)为F(x,t)，代表段的
吸热为Fdxdt
方程：c ρut = k uxx+ F
ut = a2 uxx+ f，f=F/(c ρ)
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稳定场方程
产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。
形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。
分类：
无外界作用情况
拉普拉斯方程： Δu = utt + uyy + uzz = 0
有外界作用情况
泊松方程：Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
静电场方程： Δu = -ρ/ε
稳定温度分布： Δu = - F/k
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在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．
我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中
为常数，且设
四、数学物理方程的分类
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则当
时，上述二次曲线分别为双
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏