文档介绍：客户价值分析模型
Kotler (2000)认为关系行销的重心要放在如何和最有价值的顾客建立长期并为公司带来利润的关系，而
Morgan & Hunt (1994)更明白点出顾客价值已经成为顾客关系行销的核心基础。如同 Wyner (购买频率 f 为卜松分配(Poisson Distribution)：
f
P [F = f λ ] = e −λ λ
λ > 0
(1)
f
f !
公式(1)表示，在单位时间平均购买次数为 λ 之下，单位时间内购买次数为 f 的机率。
假设四：
因为考虑顾客的异质性，故假设个别顾客单位时间平均购买次数 λ 服从 Gamma 分配：
α w
g λ (λ | w, α ) =
w−1 −αλ
) λ e
w > 0, α > 0
(2)
(
Γ w
假设五：
假设个别顾客发生购买行为之各期平均单次购买金额为 Gamma 分配，因为购买金额不可能为负，不适合用 常态分配来捕捉，因此依据 Colombo & Jiang (1999)之假设，采用更具有弹性、并且符合购买金额不为负之特性 的 Gamma 分配：
u
θ
m u −1e −θm
g (m | u,θ ) =
u > 0,θ > 0
(3)
m
Γ(u)
公式(3)中， m 代表各期平均单次购买金额。
假设六：
依据 Colombo & Jiang (1999)之假设，由于顾客各期平均单次购买金额服从之 Gamma 分配的平均值为 u / θ ， 为了考虑顾客的异质性，假设此 Gamma 分配的平均值 u / θ 随着不同顾客而变动，因此，将 u 定义为常数值，利 用 θ 捕捉每位顾客购买金额行为之不同，假设顾客平均单次购买金额的 Gamma 分配之参数 θ 符合另一个 Gamma 分配：
v
φ
θ v−1e −φθ
g (θ | v, φ ) =
v > 0, φ > 0
(4)
θ
Γ(v)
首先根据假设三和假设四可以推导出顾客购买频率的机率为负二项分配(Ehrenberg, 1959)：
PNBD [F = f | α , w]
Γ(w + f ) ⎛ ⎞ w ⎛
f
⎞
(5)
α
1
=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Γ(w) f ! ⎝ α + 1 ⎠ ⎝ α + 1 ⎠
根据假设五和假设六可以推导出顾客各期平均单次购买金额的机率密度函数为 Gamma-Gamma 混合型函数
(Colombo & Jiang, 1999)：
gG −G (m | u, v,φ )
u
v
(6)
Γ(u + v) ⎛ m ⎞ ⎛ φ ⎞ 1
=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Γ(u)Γ(v) φ + m φ + m m
⎝
⎠ ⎝
⎠
顾客购买状态移转矩阵之定义
于本节中将利用 Hughes (1994)所提出之 RFM 模型定义顾客购买状态之马可夫链移转矩阵。
定义顾客购买状态
依据 RFM 模型定义马可夫链移转矩阵的顾客购买状态，依此假设建立顾客状态如下：R 为 0 到 r 种状态、F
为 1 到 f 种状态、M 为 1 到 m 种状态，其中 R 表示自最近发生购买行为之