文档介绍：阿波罗尼斯圆
一、适用题型
1、已知两个线段长度之比为定值；
2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等;
3、向量的定比分点公式结合角平分线；
4、线段的倍数转化；
二、基本理论
（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）
设ABC中,
AB 2, AC
2BC ,则S abc的最大值为
答案:
变形:
ABC 中，AB 4, CA : CB
5:3,则S abc的最大值为
答案:
15
2
设点A,B,C,D依次在同一直线上，AB6,BC3,CD2,已知点P在直线AD外，满足
APBBPCCPD，试确定点P的几何位置。
解：先作线段AC关于2:1的阿氏圆1,再作线段BD关于3:2的阿氏圆2,两圆交点即为点P,同
时该点关于直线AD的对称点也为所求。
C DO, 0,
例7(2011年南通一模)已知等腰三角形一腰上的中线长为J3,则该三角形面积的最大值为
荏法一如用4所示,以中线用J所在宜或为i辅，
线段的中点O为坐近原点，建立平面直角坐标系,则点匕
坐标为C-t0)p又设49是AC中点，得口丹
--I,—JJT其中)>0,
由H,二1”,得
（上+~）?+v?=（2x-vTF+,再J-F+v2'6
二!,其中v>0,j
从而了宅条反而△四c的面积s=173a所次当丁二个-信时4M;z
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解法二和图4-1-：所在声线为T*,没技M,03mA)\1
%由趋小"将
()+(加/>0),则腰4。的中春状),
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因为△」出上的曲较为3=皿1,所以最大值为2.
解法三设等腰三角形J比的底配长为2%高1。二门，则腰」C^AB土
入耐+/,由三陶超中线长公式
2(4//+M：)=4为F+1^,4m1+〃：+Sj?=12,以下同解法二
解法四如困4-I-」以与犊比上的中线lib相交于点。，;二三3
由^fiCC的面把$_卜加；muWK-;siuHGC,
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解法五设蹊角jLHAC-3两膝之要为Ui-AC-lxJi为腰中点，则在
/.1/J7i内利用余1弦定理*得—4丁厂・1"沙二里则上"—,S="sin曾
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整理•得fi'in"+2”一55,化为i/36+16Ssiri(H+卬)=5S.
从而由I—唧——Iwl•存SW，所以所求面包的最大值为工
736+16^
解法六由留法五仔9")=7^-,则由S'(9)=心“W,得当g6二5-4cosft(5-4vn*0F
时,7人有最大值，此时an。二之,得“心二工
解法七 由解法五评「阴。二生
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于是S-4'八3-1X-3)=:7-(3r*5)-+16,所以为#==、时,=2.
解法八加图」--9所示，记等腰三匍形，力总的底边作门上的高为W,->卜I卜甫11T->I>—>I->.>1-tIa>
则/：〃=