文档介绍：第七章线性变换
.伴IJ别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:
?在线性空间V中，A
?在线性空间V中，A
?在 p3 中，A(X1，X2，X3)
?在 P3 中，A(X1, X2, X3 )
，其中 V是一E+mAA=
(m1)Am。
。
.证明：可逆变换是双射。
证设a是可逆变换，它的逆变换为a1o
若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A1,有a=b,这与条件矛盾
其次，对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上，令A1b=a即可。因此，A是一个双射。
.设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当
A1,A2,,An线性无关。
证因A(1，2,,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,，n)A,
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关，故A可
逆的充要条件是A1,A2,,
.求下列线性变换在所指定基下的矩阵：
1)第1题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；
2)[0；1,2]是平面上一直角坐标系，A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影日是
平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1,2下的矩阵；
3)在空间P[X]n中，设变换A为f(x)f(x1)f(x),1
试求A在基i=x(x1)(xi1)-(I=1,2,,n-1)下的矩阵A;
i!
4)六个函数1=eaxcosbx,2=ea”sinbx,3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx,
1=1x2eaxcosbx,1=1eaxx2sinbx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微
22
1 0 1
1 10, 求A在
1 2 1
分变换D在基i(i=1,2,,6)下的矩阵；5)已知P3中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是
基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
6)在P3中，A定义如下:
Ai(5,0,3)
A2(0,1,6)，
A3(5,1,9)
其中
i(1,0,2)
2(0,1,1)，
3(3,1,0)
求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上，求A在1,2,3下的矩阵。
解1)A1=(2,0,1)=21+3,
A2=(-1,1,0)=-1+
3=(0,1,0)=2
故在基
3下的矩阵为
2)取1=(1
0),2=(0
故A在基
又因为B
1=0
1)
2下的矩阵为A=
2=2,所以
B在基1
2下的矩阵为
,另外，(AB)2=a(B2)
1
=A2=2
1
1+2
所以AB在基1,
2下的矩阵为
AB=
3）因为0
1,1
x,
x(x1)
2!
x(x1)
[x
(n
2)]
(n1)!
0,
(x
1)
(X
1)x
[X
(n3)]
x(x1)
[x(n2)]
(n 1)!
(n1)!
x(x1)[x(n3)]
(n
1)!
{(x
1)[x
(n
2)]}
所以A在基
n1下的矩阵为
4)因为D1=a1-b
2=b1-a
1 +a
3- b
2 +b
3+a
3+a
5-b
4 +b
5+a
所以
所以D在给定基下的矩阵为
5）因为（
故A在基
3)=( 1,
二（
3)X,
3下的矩阵为
B=X1AX=1
6）因为（
所以A（
3)
但已知A（1,
3)
故A(
3)=(
1,
3)
=(
二（
3)
3)
7
27
7
7）因为（
1,
3)=(
所以A（
=(
20
7
5
7
18
7
20
7
2
J
7
2
7
2
7
7
24
7
22a
8．在P22中定义线性变换A1(X)=
c
bad