文档介绍：概率论课件
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现在学****的是第1页，共29页
一、幂级数的概念
定义
其中各项在区域
称为复变函数项级数, 记作
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现在学****的是第2页，共29页
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一、幂级数的概念
定义
其中各项在区域
称为复变函数项级数, 记作
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称为这级数的部分和.
级数最前面n项的和
和函数
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称为该级数在区域D上的和函数.
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
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2. 幂级数
当
或
函数项级数的特殊情形
或
这种级数称为幂级数.
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二、幂级数的敛散性
(阿贝尔Abel定理)
如果级数
在
收敛,
那末对
的
级数必绝对收敛,
如果
在
级数发散, 那末对满足
的
级数必发散.
满足
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2. 收敛圆与收敛半径
对于一个幂级数, 其收敛情况有三种:
(1) 在复平面内处处收敛.
(2) 只在一点处收敛.
(3) 复平面内既有收敛点又有发散点.
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.
.
收敛圆
收敛半径
幂级数
的收敛范围是以原点为中心的圆域.
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答案:
幂级数
的收敛范围是何区域?
问题1:
在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
注意
问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
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例如, 级数:
收敛圆周上无收敛点;
在收敛圆周上处处收敛.
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3. 收敛半径的求法
方法1: 比值法(定理二):
那末收敛半径
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如果:
即
注意:
存在且不为零 .
定理中极限
(极限不存在),
即
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答案
课堂练****试求幂级数
的收敛半径.
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方法2: 根值法(定理三)
那末收敛半径
说明:
(与比值法相同)
如果
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三、幂级数的运算和性质
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2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当
时,
又设在
内
解析且满足
那末当
时,
说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.
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定理四
设幂级数
的收敛半径为
那末
(2)
在收敛圆
内的导数可将其幂
级数逐项求导得到,
是收敛圆
内的解析函数 .
(1)
3. 复变幂级数在收敛圆内的性质
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(3)
在收敛圆内可以逐项积分,
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;
幂级数可逐项求导, 逐项积分.
(常用于求和函数)
即
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四、典型例题
例1 求幂级数
的收敛范围与和函数.
解
级数的部分和为
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级数
收敛,
级数
发散.
且有
收敛范围为一单位圆域
由阿贝尔定理知:
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,
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例2
求下列幂级数的收敛半径:
(1)
(并讨论在收敛圆周上的情形)
(2)
(并讨论
时的情形)
或
解
(1)
因为
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所以收敛半径
即原级数在圆
内收敛, 在圆外发散,
收敛的
级数
所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
在圆周
上,
级数
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说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有
级数的发散点.
原级数成为
交错级数,
收敛.
发散.
原级数成为
调和级数，
(2)
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例3 求级数
的收敛半径与和函数.
解
利用逐项积分,得:
所以
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例4 求级数
的收敛半径与和函数.
解
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例5 计算