文档介绍：矩阵与矩阵的标准形
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为多项式矩阵或 矩阵。
定义 如果 矩阵 中有一个 阶 子式不为零，而所有 三者之间的关系。
定理： 等价（相抵） 矩阵有相同的各阶行列式因子从而有相同的秩。
设 矩阵 的Smith标准形为
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容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为
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显然有：
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由于 与上面的Smith标准形具有相同的各阶行列式因子，所以 的各阶行列式因子为
而
又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我们得到
定 理： 的Smith标准形是唯一的。
例 1 求下列 矩阵的Smith标准形。
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解 ：（1）容易计算出
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（2）首先观察此矩阵的元素排列规律，显然
下面看 阶行列式因子。有一个
阶子式要注意，即
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容易计算出 从而
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(3)
定理 矩阵 与 等价的充要条件是对于任何的 ，它们的 阶行列式因子相同。
定理 矩阵 与 等价的充要条件是
与 有相同的不变因子。
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与一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论：
推论 矩阵 可逆的充要条件为
与单位矩阵等价。
推论 矩阵 可逆的充要条件为
可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
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初等因子和矩阵的相似
设 矩阵 的不变因子为
在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：
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其中 是互异的复数， 是非负整数。因
为 ，所以满足如下关系
定义 在上式中，所以指数大于零的因子
称为 矩阵 的初等因子
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例 如果 矩阵 的不变因子为
则 的初等因子为
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例 如果 矩阵 的秩为4，其初等因
子为
求 的Smith标准形。
解：首先求出 的不变因子
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从而 的Smith标准形为
定理 阶 矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。
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定理 设 矩阵
为准对角形矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。
此定理也可推广成如下形式：
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定理 若 矩阵
则 各个初等因子的全体
就是 的全部初等因子。
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例 1 求 矩阵
的初等因子，不变因子与标准形。
解：记
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那么
对于 ，其初等因子为
由上面的定理可知 的初等因子为
因为 的秩为4，故 的不变因子为
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因此 的Smith标准形为
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例 2 判断下面两个 矩阵是否等价？
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例 3 求下面 矩