文档介绍：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
适用学科
数学。
适用年级
高三
适用区域
全国
课时时长（分钟）
120
知识点
1 平面的法向量
2用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
学****目标
1．1)的结论知AP⊥BC，
∴AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BCM.
【例题3】2014·福州调研)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
审题路线： 由长方体特征，以A为坐标原点建立空间坐标系，从而将几何位置关系转化为向量运算．第(1)问证明·＝0，第(2)问是存在性问题，由与平面B1AE的法向量垂直，通过计算作出判定．
(1)证明： 以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)．
故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥AD1.
解：假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)．
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．
又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝. 又DP⊄平面B1AE，
∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
四、课堂运用
【基础】
1(2013·浙江卷选编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面BCD.
证明： 如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．
设点C的坐标为(x0，y0,0)，
因为＝3，
所以Q.
因为点M为AD的中点，故M(0，，1)．
又点P为BM的中点，故P，
所以＝.
又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故·a＝0.
又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
，β的法向量分别为μ＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1，4)，则()．
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上都不正确
答案：C
解析：∵≠≠，∴μ与v不是共线向量，又∵μ·v＝－2×3＋3×(－1)＋(－5)×4＝－29≠0，∴μ与v不垂直，∴平面α与平面β相交但不垂直．
【巩固】
，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：
(1)DE∥平面ABC；
(2)B1F⊥平面AEF.
证明： 如图，建立空间直角坐标系A－xyz，
令AB＝AA1＝4，
则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．
(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)，
又C(0,4,0)，D(2,0,2)，
∴＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)，
∴＝.∴DE∥NC，
又NC在平面ABC内，故DE∥平面ABC.
(2)＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)，
·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
则⊥，∴B1F⊥EF，
∵·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，
∴⊥，即B1F⊥AF.
又∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.
已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．
答案：平行
解析：＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，∴n·＝0，n·＝0，∴n⊥，n⊥，故n也是α的一个法向量．又∵α与β不重合，∴α∥β.
【拔高】
，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的