文档介绍：高三数学课件函数的奇偶性
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判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般
步骤是:
（1）考查定义域是否关于____________；
（2）考查表达式f（-x）是否等于关于原点对称,这是函数具有奇偶性的
必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题
是有利的;
二是判断f(x)与f(-x)
性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))
是否成立.
探究提高
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分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的
函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来
寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称
的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确
定的奇偶性.
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知能迁移1 判断下列函数的奇偶性:
(1)
(2)
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解 (1)∵ ∴-2≤x≤2且x≠0,
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
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(2)当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1,
∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).
当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,
∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x).
当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,
∴f(-x)=0=f(x).
综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
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题型二 函数的奇偶性与单调性
【例2】 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=
f(x)+f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)= 试求
f(x)在区间［-2，6］上的最值.
(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,
只需证f(x)+f(-x)=0;
(2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇
偶性的应用.
思维启迪
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(1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,
∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.
∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（2）解 方法一 设x,y为正实数，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.
∵x为正实数，f（x）<0,
∴f(x+y)-f(x)<0,
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∴f(x+y)<f(x).
∵x+y>x,
∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.
又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.
∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
∵f(1)= ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2[f（1）+f（2）]=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值
为-3.
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方法二 设x1<x2,且x1,x2∈R.
则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)
=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.
即f(x)在R上单调递减.
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.
∵f（1）= ∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1
f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值
为-3.
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探究提高 （1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只
要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.
（2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用
方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.
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知能迁移2 函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满
足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在
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