文档介绍：四川师范学院论文浅谈求不定积分的若干方法
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integral
姓
名:
学
号:
学
院:
专
业:
指导老帅:
完成时间:
王秋烈
四川师间I上的一个原函数。例如：f(x)是R上的一个原函数，其中f'(x)是f(x)的导函数，那么f(x)即为f'(x)的原函数。
注意：初等函数都是连续函数，所以均有原函数。
(2)不定积分定义：函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作f(x)d(x)，其中为积分号，f(x)是被积函数，x为积分变量。即
f(x)d(x)=F(x)+，则称y=f(x)的图像为f的一条积分曲线。即f的不定积分为沿y轴任意平移的曲线族。
。该方法是求不定积分的基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就活楚被积函数变形到怎样的式子简便。
(1)利用二项式定理将二项式变为多项式，从而变为多个单项式求积分；C3
例1-x2(2x)dx(8x212x36x4x5)dxxxxxxxxx8346516-x3x—x-xc356(2)利用代数公式或三角公式将积商形式的被积函数化为代数和的形式，并使每-项都符合积分公式；例2:
"x(x32x2泛x
-3-x3)dx3x3
我一35
3x3c8
(3)对分式函数还可以根据分母的情况，数和后再约分，使其符合积分公式；』〜2、例3：寻—dxx(1x)
将分子拆项或拼凑,
化为几个分式的代
\11j22-dx—dxdxx(1x)x1x
arctgxc(4)对丁含有绝对值的积分问题，要求先处理绝对值再积分。
由此可得，直接积分法使熟练掌握基本公式的基础。但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对丁比较复杂的积分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式求解积分。
3换元积分法
所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分f(x)dx有困难时，x(t)(存在反函数t=(x)，且(t)及(x)都是连续可微函数，’(t)c),把原来的积分转化为对新变量t的积分。那么，不定积分的换元法有(其逆运算)导数的换元法(即复合函数的求导方法)而来，它是通过改变积分变量的方式来实现不定积分问题的转化。不定积分的换元法按照换元前后新旧积分变量的关系可分为：第一类换元积分法和第二类换元积分法。
第一类换元积分法，其新的积分变量为原积分变量的函数，即新的微分元为原积分变量函数的微分。该方法的基本思路是把所求的被积函数通过适当的变量代换后，化成积分公式中的某一被积形式，然后代入积分公式求出结果，所以,
也称为“凑微分法”。
简单的说：第一类换元积分法的基本步骤如下：
f[(x)]'(x)dx凑微分f[(x)]d[(x)]换元(令u=(x))f(u)du回代
F(u)c
F[(x)]c[1]那么，该积分的关键是：将被积表达式凑成两部分，一部分是复合函数，其中外函数是基本积分公式中的某一被积形式，另一部分是内函数的微分。其根本就是通过拼凑使原本不能利用公式求的积分变成可应用公式求，使用此方法时，要熟练运用，除了要牢固掌握微积分的基本公式以外，还要了解一些常用微分公式。
首先，介绍一下基本的一些常微分公式，这些公式对丁求解积分中运用换元积分法的题目有重要作用。
(1)直接“凑”即将被积函数中的某个函数直接与dx凑成微分形式；2
例4:求2xexdx.
分析：其中2x与e凑成微分形式
解：2xexdx=exdx2令u=x2贝Uexdx2=eudu=eu+C将u=x2回带，贝Ueu=ex,所以2xexdx=ex+C(2)分部“凑”即被积函数形式较为复杂，直接观察不易凑成微分形式，可先将部分因子化简后，分部来“凑”；
例5:求一lnL_^dx.
(1x2)1x
解：由丁[ln(1+x)]‘=,[ln(1-x)]=———1x1x—)ln
1
1
x
1x2
ln
1
x
1
1
x
ln
—
d[
2
1
x
1
1
x
ln
—
d
2
1
x
dxJixx)ln(1
1In-
1x1x1
1xdx
x
x)]
(变量，具有一定的迷惑性，要多加小心⑶变形后“凑”即有些积分通过恰当的变形(加、减、乘、除某些因子)后,可以使用凑微分法。
例6:求不定积分此类届丁多次凑微分，我们习惯以x