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初中理科综合竞赛数学试题
答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答。
2、草稿纸和试题不上交，只交答卷纸.
选择题（本大题分6小题，其中第1-5小题每题4分，第6题5分，D的值。 （5分)
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15. 不相等的两个正整数的和、差、积、商之和是一个整数的完全平方数，称这样的两个数为“智慧数”。假设这两个数均不超过100,求这样的“智慧数”有多少组？
16。某服装经销商甲库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元,每月可卖出100套，一年刚好卖完。现市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情互相不受影响)。目前有一可进B品牌服装的时机，假设这一时机错过，估计一年内进不到这种服装，可是经销商手头无流动资金可用,只有折价转让A品牌服装，经和销售商乙协商，达成协议,转让价格（元/套）和转让数量（套）有如下关系：
转让数量(套)
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
价 格
（元/套）
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
如今经销商甲面临三种选择：
方案一：不转让A品牌服装,也不经销B品牌服装;
方案二:全部转让A品牌服装，用转让得来的资金一次性购
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入B品牌服装后，经销B品牌服装；
方案三：为谋求更高利润，部分转让A品牌服装，用转让来的资金一次性购入B品牌服装后，经销B品牌服装，同时也经销A品牌服装。
问：（1）如经销商甲选择方案一，那么他在一年内能获得多少利润？（4分）
（2) 如经销商甲选择方案二，那么他在一年内能获得多少利润?(4分）
(3)经销商甲选择哪种方案可以使自己在一年内获得最大利润？并求出此时他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少?此时他在这一年内共得利润多少元？（4分）
17。在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，BO＝4，分别以OA、OB边所在的直线
建立如图平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等
边△ODE.
（1）如图(1），当E点恰好落在线段AB上,求E点坐标;(3分）
(2）在（1）问的条件下，将△ODE在线段OB上往右向B点平移（如图（2)），图中是否存在一条和线段
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OO′始终相等的线段?假设存在，请指出这条线段,并加以证明；假设不存在，请说明理由；(4分）
（3)假设点D从原点出发沿x轴正方向挪动,设点D到原点的间隔 为x，△ODE和△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y和x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围（5分）.
初中数学竞赛试题参考答案
一：选择题：1,D 2,B 3，A 4，C 5,D 6,B
二。填空题：7、y=—2（x—2）2+3 或y=2x2+8x+5 8、2
9、7或25(填对1个得2分,填错1个扣1分，不倒扣，第10、12同）
10、（1）（4) 11、 12、4或5
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13、（1)100(x+1）2=100（x+1）+24 .… （2分) x=0。2 =20％。… (2分)
（2） 2月份的销售额：100×=144万元。 .…(4分)
14、解: (1）Rt△AFE∽Rt△BEM∽Rt△GHM。……(3分）
（2）设正方形边长为a，由勾股定理得EF2＝AF2＋AE2即（a－x）2＝x2＋（）2 ，
∴x＝a …(2分）∴DF＝a ,(1分) ∴AF:BF＝a：a＝3:5 …（2分）
15．共53组…(1分）.提示：不妨设a，b为智慧数，且a＞b,那么a+b+a—b+ab+=m2(m为正整数）,而必为正整数。设a=kb（k为正整数，且k≠1），从而m2=（b+1）2k…（2分)，
（b+1)能整除m，而k=（）2≥4,又b＜a≤100，所以1≤b≤25。 …(1分）当b=1时,a=k=（）2,m可取4，6，。.。，20,共9组…(1分）；当b=2时，a=2k=2（）2，m