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离心率的取值范围的求法
舒云水
求椭圆、双曲线的离心率的取值范围，是高考的一个热点，也是一个难点，难在关于 a 、b 、c 的不等式的建立，下面从三个方面谈不等式的建立
一、 .实用文档 .
离心率的取值范围的求法
舒云水
求椭圆、双曲线的离心率的取值范围，是高考的一个热点，也是一个难点，难在关于 a 、b 、c 的不等式的建立，下面从三个方面谈不等式的建立
一、 根据条件建立不等式
例 1
F1
、F2
分别是双曲线 x2
y2
1(a 0 ，b 0) 的左右焦点，过
a2
b2
F1 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于
A 、 B 两点，假设 ABF2 为锐角三角
形，那么双曲线的离心率的取值范围 ﹒
AF1 b2
AF2 F1AF1
b2
b2
解析：由条件易求
， tan
a
，由于
a
F1 F2
2c
2ac
ABF2为锐角三角形，故只需 AF2B 为锐角即可，那么有
tan
AF2 F1 b2
tan 45
1，整理得： b2
2ac ，所以 c2
a2
2ac
0
，两
2ac
边同时除以 a2 得： e2
1
2e 0 ，求得： 1
2 e 1
2 ，又 e
(1,
) ，
故 e
(1,1 2) ﹒
点评：根据
AF2B 为锐角知
AF2 F1
45 ，通过 tan
AF2F1
45
＝１
建立 a、b 、c 的不等式，此题不等式的建立思路比拟明确自然，难度不大﹒
二、 根据相关线段的取值范围建立不等式
例2
双曲线 x
2
y
2
2
2
1(a 0 ，b
0) 的左、右焦点分别为 F1〔－
a
b
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ｃ ,0) ， F2 (c,0) ﹒假设双曲线上存在点
P 使
sin PF1 F2
a
，那么该双曲
sin
PF2 F1
c
线的离心率的取值范围是
﹒
解析：依题意及正弦定理得
PF
2
a
1，因此点 P 位于双曲线的
PF1
c
右支上，且点 P 不与 F1 F2 共线，所以有
PF2
a
，即
2a
1
a
﹒
2a c
PF2
c
PF 2
又 2a
a 1
2a ，得 ( e 1) 2
2，即1
2 e
2 1 ﹒
PF2
c
c
a