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基本不等式应用
2 2
1. (1)若a,b • R，则 a • b2 _2ab (2)若a,b・ R ,则 ab・：：a 」(当且仅当 a 二 b 时取“二”)
2
2. (1)若 a\的值域。
Jx2 十4
解：令、x2 4 二t(t-2)，则-=* 5_ =次 4」 =t」(t_2)
Jx2 +4 Jx2 +4 t
1 1
因t 0,t 1，但t 解得t = -1不在区间(2,二：，故等号不成立，考虑单调性。
t t
因为y二t 1在区间1, 单调递增，所以在其子区间 (2, 为单调递增函数，故 y-卫。
t 2
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所以，所求函数的值域为
^:= °
(1)
2
x 3x1
x
,(X 0)
(2)y = 2x+^^,x>3 (3)
x-3
y 二 2sin x
(0,二)
练****求下列函数的最小值，并求取得最小值时， x的值.
2•已知0 :：: x ：：1，求函数y x(1-x)的最大值.；3 • 0 x -，求函数科二x(2 - 3x)的最大值.
条件求最值
• b = 2，则3a 3b的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解：3a和3b都是正数，3a - 3b> 2 3a 3b「="=6
当3a =3b时等号成立，由a，b=2及3a = 3b得a=b=1即当a二b = 1时，3a 3b的最小值是6.
变式：若
log 4 x log4 y = 2 ,
求--的最小值•并求x,y的值
x y
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
1 9
2：已知x 0, y 0 ,且 1,求x亠y的最小值。
x y
错解：； 0, y 0，且 1 - , x y = 1 9 x y _2 9 =12 故 x y min =12。
x y lx y 丿 \ xy
错因：解法中两次连用基本不等式，在
x ^2 xy等号成立条件是
1 9
条件是 即y =9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出
x y
等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
y 9x
10-6 10 =16 y
1 9
正解：："x 0, y 0, 1, . x y = x y
x y
y 9x 1 9
当且仅当 时，上式等号成立，又 1，可得x = 4, y =12时，x • y min =16。
x y x y
变式：(1)若x, y R且2x，y - 1，
x y
(2)已知a,b, x, y R ■且旦b ^1，求x y的最小值
x y
2
技巧七、已知x, y为正实数，且x 2 + = 1,求x寸1 + y 2的最大值.
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分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式
2 . 2
,a + b abw 。
2
即 xj + v 2 =頁 x、/?
2 X- 1 + V2
技巧八：已知 a, b为正实数，2b+ ab+ a= 30,求函数
a，
1
y= ab
一是通过消元，转化为一元函数问题
二是直接用基本 不等式，对本题来说，因已知条 考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式
的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值， 的途径进行。
、丄 30 — 2b 30— 2b — 2 b 2+ 30b
法一：a= "b+厂, 曲=飞+厂° b=-
由 a> 0 得，0v b< 15
2
—2t + 34t — 31
令 t = b+1, 1< t < 16, ab=
，再用单调
b+ 1
=-2 (t + ¥ )+ 34V t +1 > 2、/t 晋=8
二 ab< 18
法二：由已知得：
令u=』ab 则
••• ab w 3 2,
1
•・ v》
18
30- ab= a+2bv u2+ 2 2 u-30 w 0,
- 1
abw 18,「. y > 18
当且仅当t = 4,
即b= 3, a= 6时，等号成立。
a + 2b> 2 2 ab •30 — ab> 2』2 ab
—5 2 w uw 3 2
点评：①本题考查不等式