文档介绍：高等数学电子教案
中国石油大学（华东）
理学院基础数学系 金贵荣
编辑ppt
前 言
编辑ppt
高等数学的基本内容和方法
编辑ppt
编辑ppt
几 点 要 求统称为初等函数 .
编辑ppt
双 曲 函 数
都是初等函数
编辑ppt
解
编辑ppt
解
编辑ppt
数 列 极 限
一. 数列极限的定义
数列是整标函数:
注意：
数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动
点在数轴上依次取
编辑ppt
编辑ppt
问题:
意味着什么? 如何用数学语言定量地刻划它 .
编辑ppt
编辑ppt
定义1
定义2
编辑ppt
编辑ppt
注意:
用 定义” 验证数列极限，关
键是如何由任意给定的 寻找 N ？
具体方法：
编辑ppt
例1
证
编辑ppt
例2
证
编辑ppt
注:
编辑ppt
例3
证
编辑ppt
证
编辑ppt
综合之，故
编辑ppt
二. 收敛数列的性质和运算
定理1（唯一性）
证
由定义,
证毕
编辑ppt
定理2（有界性）
证
由定义,
证毕
编辑ppt
子数列的概念
定义
左向右任意选取无穷多项，并按它们在原数
列中的次序排成一个新的数列，表为：
简称子列 .
编辑ppt
编辑ppt
定理 3
证
证毕
推论 1
编辑ppt
推论 2
证
证毕
编辑ppt
定理4（四则运算）
注意:
四则运算只对有限个收敛数列而言，否则不能用 .
编辑ppt
无穷多个收敛数列
这是错误的.
编辑ppt
例5 求下列极限
解
编辑ppt
编辑ppt
三. 数列收敛的判别
定理5（迫敛性或两边夹定理）
证
证毕
编辑ppt
例6
解
由两边夹定理，
练习册 习题7
编辑ppt
例7
解
由两边夹定理，
编辑ppt
单 调 数 列
编辑ppt
定理6（单调有界原理）
（证明略）
上界
下界
例8
证
编辑ppt
编辑ppt
例9
证
编辑ppt
计算可得：
编辑ppt
函 数 的 极 限
一. 函数在有限点处的极限
编辑ppt
一般地有
编辑ppt
定义1
编辑ppt
几何解释:
编辑ppt
单侧极限:
例如,
编辑ppt
左极限
右极限
编辑ppt
定理
左右极限存在但不相等,
例1
证
编辑ppt
例2
解
左右极限存在且相等,
编辑ppt
用 定义” 验证函数极限:
关键是如何由 寻找 ？
具体方法：
编辑ppt
证
编辑ppt
证
编辑ppt
证
编辑ppt
问题:
如何用数学语言刻划两个“无限趋近”.
二. 函数在无穷远处的极限
编辑ppt
定义2
编辑ppt
定理
1
编辑ppt
几何解释:
编辑ppt
用 定义” 验证函数极限:
关键是如何由 寻找 ？
具体方法：
编辑ppt
证
编辑ppt
证
编辑ppt
证
编辑ppt
三. 函数极限的性质和运算
性质1（唯一性）
性质2（局部有界性）
证
证毕
编辑ppt
性质3（局部保号性）
证
证毕
编辑ppt
性质4（四则运算）
（证明略）
注：四则运算对有限个存在极限的函数而言.
编辑ppt
性质5（极限不等式）
证
注意:
编辑ppt
性质6（迫敛性或两边夹定理）
性质7（海涅( Heine,1821-1881,德 )定理）
（证明略）
注：海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系.
（证明略）
编辑ppt
ⅰ
ⅱ
推论:( 判断 不存在的方法 )
编辑ppt
证
编辑ppt
性质8（极限的变量代换）
（证明略）
编辑ppt
编辑ppt
编辑ppt
编辑ppt
四. 两 个 重 要 极 限
(1)
1
编辑ppt
证
(
证毕
编辑ppt
(2)