全国大学生数学竞赛河北赛区试题及.doc

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全国大学生数学竞赛河北赛区试题及答案
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全国大学生数学竞赛河北赛区试题及答案
河 北 省 大 学 生 数 学 竞 赛 试 题 及 答 案
1
其收敛半径为
，收敛区间为
(
1,1) ，
1
当
x
时，
x n
(
n
1
收敛；
1
n
0 n
1
1)
n
0 n
1
当 x
1时，
xn
1
发散，因此其收敛域为
[
1,1) 。
n
0 n 1
n
0 n
1
设其和函数为
s( x) ，则
x
( 1,1)
，
x
x
t n
x t n
dt
x
n 1
x
s(t) dt
dt
。
0
0 n 0 n 1
n 0
0 n 1
n 0
1 x
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全国大学生数学竞赛河北赛区试题及答案
于是， s(x) ( x
)
1
.
1
x
(1 x)2
故，
e n
s( e 1 )
e2
。
n 0 n
1
(e 1 ) 2
六、 ( 本题满分 10
分 )
设 f ( x)
sin x
x
( x
t ) f (t)dt ，其中 f
f ( x) 。
0
为连续函数，求
【解】 原方程可写为
f ( x)
sin x
x
x
x
f (t )dt
tf (t )dt ，
0
0
上式两端对 x 求导得