文档介绍：关于函数的奇偶性****题
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函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于f(x)定关于函数的奇偶性****题
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函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,
那么函数f(x)就叫奇函数.
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☆对奇函数、偶函数定义的说明:
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（前提条件）。
[a ,b]
[-b,-a]
x
o
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利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
(2)确定f(－x)与f(x)的关系；
(3)作出相应结论．
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判断函数的奇偶性
判断下列函数是否具有奇偶性．
(1)f(x)＝x＋x3＋x5；
(2)f(x)＝x2＋1；
(3)f(x)＝x＋1；
(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．
分析：先求定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．
解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.
当x∈R，－x∈R.
∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．
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(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.
∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
∴f(x)＝x2＋1是偶函数．
(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R，
∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，
f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)
∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)因为函数的定义域关于原点不对称，
存在3∈[－1,3]，而－3 [－1,3]．
∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数．
点评：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提．
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练****判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)
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说明：根据奇偶性,函数可划分为四类, ①偶函数
②奇函数
③既奇又偶函数
④非奇非偶函数
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且f(-2)=10，则f(2)等于( )
A -26 B -18 C -10 D 10
A
1
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(x),g(x)在区间［-a，a］ (a＞0）上都是奇函数，则下列结论：
①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；
②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；
③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数；
④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是
4
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跟踪训练
2．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量范围是( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4，－1)∪(1,4)
C．(－∞，－4)∪(－1,0)
D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
解析：根据题目条件，想象函数图象如下：
答案：B
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利用函数的奇偶性求函数的解析式
已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式．
解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，
所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，
因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4.
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跟踪训练
3．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．
分析：将x<0时，f(x)的解析式转化到x>0上，这是解决本题的关键．
解析：由f(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)＝－f(－x)
＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)；
当x＝0时，f(0)＝－