文档介绍：立体几何中的向量方法(二)一一求空间角和距离
基础知识,自主学****br/>知识间的理清教材
I要点梳理
.空间向量与空间角的关系
⑴设异面直线l 1 , l 2的方向向量分别为 m, R2,则l 1与l 2所成的角。满足cos 0 = |,
所以要注意二者的区别与联系，应有cos 9=|cos a|.
跟踪训练1已知直四棱柱ABCD- ABCD中，底面
ABC的正方形
AA=2AR
E为AA
的中点，则异面直线
BE与CD所成角的余弦值为
1
5
3/10 .10
答案 C
解析 如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.
设 AA=2AB= 2,则 B(1,1,0) , E(1,0,1) , C(0,1,0) , D(0,0,2),
- BE= (0, - 1,1),
CD= (0, — 1,2),
cos〈Bfe CD〉
1 + 2 3 110
—= ==-*—
2,5 10
题型二求直线与平面所成的角
【例2 如图，已知四棱锥P— ABCD勺底面为等腰梯形,
垂足为H, PH是四棱锥的高，E为AD的中点.
(1)证明：PE! BC
AB// CD ACL BD
(2)若/APB= /ADB= 60° ,求直线 PA与平面PEH^成角的正弦值.
思维启迪 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键,
本题可通过建立
坐标系，利用待定系数法求出平面 PEH勺法向量.
(1)证明 以H为原点，HA HB HP所在直线分别为 x, y, z轴,
线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系 (如图)，
则 A(1,0,0) , B［0,1,0).
设 C(m0,0) , P(0,0 , n) ( n<0,
n>0),则
1 m
可得 PE=(2, 2, -n I BO(m
—1,0) .
i — f 一 m m 一 一 …， ,一
因为 PE・ BO-—-+0=0，所以 PEIBC
（2）解 由已知条件可得 m=— 半，n= 1,
3
故 C C 坐 °，“ *，-喙4 %-*’ 0)
R0,0,1） .
设n=（x, V，z）为平面PEH勺法向量,
n - He= 0
则$ . —
G . H4 0
1
-x
即,2
乌=0
6 y 0,
因此可以取n= （1
乖,0).又 PA=(1,0
-1),
所以|cos
〈PA, n>
所以直线
PA与平面PE所成角的正弦值为
思维升华
利用向量法求线面角的方法:
（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角
（或其补角）；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其 余角就是斜线和平面所成的角.
跟踪训练2 （2013 •湖南）如图，在直棱柱 ABCD-ABCD中，AD// BC Z BAD= 90° , ACL BD BC= 1, AD= AA=3.
(1)证明：Ad BQ
(2)求直线BG与平面ACD所成角的正弦值.
方法一 (1)证明 如图，因为 BB，平面 ABCD AC?平面ABCD所以AdBB.
又ACL BD所以ACL平面BBD,
而B1D?平面BBD,所以ACLBD
(2)解 因为BG//AD所以直线BC与平面ACD所成的角等于直线 AD与平面ACD所成 的角(记为0).
如图，连接 AD,因为棱柱 ABCD- ABCD是直棱柱，且/ BiAQ=/BAD= 90° ,
所以AB,平面ADD1,从而ABiXAD.
又AD= AA=3,所以四边形 ADDA是正方形.
于是AD! AD,故ADL平面 ABD,于是 AD± BD.
由⑴知，ACL BD,所以BDL平面ACD
故/ ADB= 90 — 0 ,
在直角梯形ABCDK
因为 ACL BQ 所以/ BAC= / ADB
从而 RtAABCC^ Rt △ DAIB 故
AB BC
DAT AB
即 AB= DA- BC= 3.
连接AB,易知△ ABD是直角三角形，且BD2=BB1+BD= BE2+A百+ aD= 21 ,即BiD= 货.
在 RtZ\ ABD 中，cos / ADB=2巳 2- = 乂3,
BD 217
即 cos(90 ° - 0 )
=。=手.
即直线BG与平面
ACD所成角的正弦值为一，
方法二 （1）证明
易知，AB AD ，以 A
为坐标原点，AB
AQ AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建
立空间直角坐标系.
设AB= t,则相