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向量知识点归纳与常见题型总结
、向量知识点归纳
1. 与向量概念有关的问题
⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，“a>b”错充要条件是|ab|=|a||b|.当e为锐角时，a•b>、b不同ab>0是8为锐角的必要非充分条件；当B为钝角时，a，bV0,且ab不反向，ab<0是°为钝角的必要非充分条件；=（九,2对，b=（3"2），如果a与b的夹角为锐角，贝u岛的取值范围是（答：九<——或九A0且九学'）;33例6、已知i,j为相互垂直的单位向量，a=i—2j,b=i+九j。且a与b的夹角为锐角，求实数九的取值范围。
分析：由数量积的定义易得“＜a,b^a6＞0”，但要注意问题的等价性。
1解：由a与b的夹角为锐角，得ab=1—2舄＞＜-.
2而当a=tb(t》0),即两向量同向共线时，有「=1得乳=-。
似=-2“，1\故提—*,—22—2,—i.
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评析：特别提醒的是：＜a,b：＞是锐角与ab》。不等价；同样＜a,b＞是钝角与ab＜。不等价。极易疏忽特例“共线”。
….…一》___22■■---2—22特殊情况有a・a=a=|a|。或|a|=•a・a=\a=.xy.
④ 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|=.(Xi-X2)2(yi-y2)2|ab|M|a||b|。(因cos8|＜1)数量积不适合乘法结合律.
⑤ 如(ab)c#a(bc).(因为(ab)c与c共线，而a(bc)与a共线)数量积的消去律不成立.
若a、b、c是非零向量且ac=bc并不能得到a=b这是因为向量不能作除数，
1即1是无意义的.
c⑹向量b在a方向上的投影IbIcose=寸(7)；和e2是平面一组基底，则该平面任一向量；=印*+》2言("校唯一)
特别：.OP=^O^+^qB则=1是三点P、A、B共线的充要条件.
注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线1—―IT例7、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若—一B0=a10A+a200OC,且A、B、C2三点共线(该直线不过点0)，则S2oo=()、平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足—%%%0C=\0A+兀20B,其中、舄2肴R且％+赤2=1,则点C的轨迹是(直线AB)例9、已知点A,,B,C的坐标分别是(3,1),(5,2),(2「,，使0C=7,0A+(1—舄)0B,则t的值是:，能确定三点A,B,P不共线的是：
A•MP=sin220'MA+=sec220°MA—tan220'=sin220，MA+=csc231「MA—cot231标分析：本题应知：“A,B,P共线，等价于存在兀,PwR,使MP=+PMB且赤+P=1”。
小……工——TFT-一(8)①在AABC中，PG=3(PA+PB+PC)uG为AABC的重心，特别地PA十PB+PC=