文档介绍：第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
,
求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换.
解 由已知:
,
故 ,
.
.
(4).
解
.
13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1);
解 方程组可表示为
,
故 ,
从而有 .
(2).
解 方程组可表示为
,
故 ,
故有 .
14. 设Ak=O (k为正整数), 证明(E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1.
证明 因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因为
E-Ak=(E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1),
所以 (E-A)(E+A+A2+× × ×+Ak-1)=E,
由定理2推论知(E-A)可逆, 且
(E-A)-1=E+A+A2+× × ×+Ak-1.
证明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A).
另一方面, 由Ak=O, 有
E=(E-A)+(A-A2)+A2-× × ×-Ak-1+(Ak-1-Ak)
=(E+A+A2+× × ×+A k-1)(E-A),
故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+× × ×+Ak-1)(E-A),
两端同时右乘(E-A)-1, 就有
(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+× × ×+Ak-1.
15. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1.
证明 由A2-A-2E=O得
A2-A=2E, 即A(A-E)=2E,
或 ,
由定理2推论知A可逆, 且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E,
或
由定理2推论知(A+2E)可逆, 且.
证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 两端同时取行列式得
|A2-A|=2,
即 |A||A-E|=2,
故 |A|¹0,
所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2¹0, 故A+2E也可逆.
由 A2-A-2E=O ÞA(A-E)=2E
ÞA-1A(A-E)=2A-1EÞ,
又由 A2-A-2E=OÞ(A+2E)A-3(A+2E)=-4E
Þ (A+2E)(A-3E)=-4 E,
所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1,
.
16. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)-1-5A*|.
解 因为, 所以
=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8´2=-16.
17. 设矩阵A可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*.
证明 由, 得A*=|A|A-1, 所以当A可逆时, 有
|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1¹0,
从而A*也可逆.
因为A*=|A|A-1, 所以
(A*)-1=|A|-1A.
又, 所以
(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.
18. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明:
(1)若|A|=0, 则|A*|=0;
(2)|A*|=|A|n-1.
证明
(1)用反证法证明. 假设|A*|¹0, 则有A*(A*)-1=E, 由此得
A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,
所以A*=O, 这与|A*|¹0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.
(2)由于, 则AA*=|A|E, 取行列式得到
|A||A*|=|A|n.
若|A|¹0, 则|A*|=|A|n-1;
若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.
因