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常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答.pdf

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文档介绍:常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 2-1

判断下列方程是否为恰当方程,并且对恰当方程求解:
1. (3x 2 −1)dx + (2x +1)dy = 0
解: P(x, y) = 3x 2 −1, Q(x, y) = 2x +1 ,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则= 0 , = 2 ,所以≠即,原方程不是恰当方程.
∂y ∂x ∂y ∂x

2. (x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0
解: P(x, y) = x + 2y, Q(x, y) = 2x − y,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则= 2, = 2, 所以= ,即原方程为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
则 xdx + (2ydx + 2xdy) − ydy = 0,
x 2 y 2
两边积分得: + 2xy −= C.
2 2

3. (ax + by)dx + (bx + cy)dy = 0 (a,b 和 c 为常数).
解: P(x, y) = ax + by, Q(x, y) = bx + cy,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则= b, = b, 所以= ,即原方程为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
则 axdx+( bydx) + bxdy += cydy 0,
ax 2 cy 2
两边积分得: + bxy + = C.
2 2

4. (ax − by)dx + (bx − cy)dy = 0 (b ≠ 0)
解: P(x, y) = ax − by, Q(x, y) = bx − cy,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则= −b, = b, 因为 b ≠ 0 , 所以≠,即,原方程不为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
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常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案

5. (t 2 +1)cosudu + 2 t sin udt = 0
解: P(t,u) = (t 2 +1)cosu, Q(t,u) = 2t sin u
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则= 2t cosu, = 2t cosu, 所以= ,即原方程为恰当方程
∂t ∂x ∂y ∂x
则(t 2 cosudu + 2t sin udt) + cosudu = 0,
两边积分得: (t 2 +1)sin u = C.

6. (ye x + 2e x + y 2 )dx + (e x + 2xy)dy = 0
解: P(x, y = ye x + 2e x + y 2 , Q(x, y) = e x + 2xy ,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则= e x + 2y, = e x + 2y, 所以= ,即原方程为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
则 2e x dx + [(ye x + y 2 )dx + (e x + 2xy)dy] = 0,
两边积分得: (2 + y)e x + xy 2 = C.

y
7. ( + x 2 )dx + (ln x − 2y)dy = 0
x
y
解: P(x, y) = + x 2 Q(x, y) = ln x − 2y,
x
∂P 1 ∂Q 1 ∂P ∂Q
则= , = , 所以= ,即原方程为恰当方程
∂y x ∂x x ∂y ∂x
y
则( dx + ln xdy) + x 2 dx − 2ydy = 0
x
x 3
两边积分得: + y ln x − y 2 = C.
3

8. (ax 2 + by 2 )dx + cxydy = 0 (a,b和c为常数)
解: P(x, y) = ax 2 + by 2 , Q(x, y) = cxy,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则= 2by, = cy, 所以当= ,即 2b = c 时, 原方程为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
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常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
则 ax 2 dx + (by 2 dx + cxydy) = 0
ax 3
两边积分得: + bxy 2 = C.
3
而当 2b ≠ c 时原方程不是恰当方程.

2s −1 s − s 2
9. ds + dt = 0
t t 2
2s −1 s − s 2
解: P(t, s) = , Q(t, s) = ,
t t 2
∂P 1− 2s ∂Q 1− 2s ∂P ∂Q
则= , = , 所以= , 即原方程为恰当方程,
∂t t 2 ∂s t 2 ∂y ∂x
s − s 2
两边积分得: = C .
t

10. xf (x 2 + y 2 )dx + yf (x 2 + y 2 )dy = 0, 其中 f (⋅) 是连续的可微函数.
解: P(x, y) = xf (x 2 + y 2 ), Q(x, y) = yf (x 2 + y 2 ),
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则= 2xyf ′, = 2xyf ′, 所以= , 即原方程为恰当方程,
∂y ∂x ∂y ∂x
两边积分得: ∫ f() x22+= y dx C ,
即原方程的解为 F(x 2 + y 2 ) = C (其中 F 为 f 的原积分).


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常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 2-2

1. 求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义的区域::
dy x 2
(1) =
dx y
解:原方程即为: ydy = x 2 dx
两边积分得:3y 2 − 2x 3 = C, y ≠ 0 .

dy x 2
(2) =
dx y(1+ x 3 )
x 2
解:原方程即为: ydy = dx
1+ x 3
两边积分得: 3y 2 − 2ln1+ x 3 = C, y ≠ 0, x ≠−1 .

dy
(3) + y 2 sin x = 0
dx
解: 当 y ≠ 0 时
dy
原方程为: + sin xdx = 0
y 2
两边积分得:1+ (c + cos x)y = 0 .
又 y=0 也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为
1+ (c + cos x)y = 0 .

dy
(4) = 1+ x + y 2 + xy 2 ;
dx
dy
解:原方程即为: =(1 + x ) dx
1+ y2
x 2
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