文档介绍：换元法
换元法
换元法：又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个
换元法
换元法
换元法：又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原那么，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元〞，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。使用换元法时要注意“新元〞的范围，“新元〞所受的限制条件还要注意根据题设条件验证结果。换元的总目的是化繁为简，具体地说是：化超越为代数，化无理为有理，化分式为整式，化高次为低次等等。
运用换元法解题时，要引入什么样的“新元〞和怎样引入“新元〞，不同的问题有不同的方法和技巧。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元的种类有：等参量换元、非等量换元。
局部换元又称整体换元，是在或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如：解不等式：+－2≥0，先变形为设 =t〔t>0〕，而变为熟悉的一元二次不等式：+t-2≥0求解得：t≥1,t≤-2指数函数的单调性求解≥1, ≤-2的问题。 x≥0,x≤
三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=的值域时，假设x∈[-1,1]，设x=sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量x、y适合条件时(r>0)，那么可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元:如遇到x+y=2S形式时，设x= S+t，y= S－t等等。
例1. 分解因式
    分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，此题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学****参考。
    解：法一：对和换元，用换元法解
    设
    那么原式
         
         
         
         
         
         
         
         
    法二：用换元法来解
    设，那么
    原式
      
      
      
      
    法三：将原式整理成关于x的二次三项式
    原式