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容斥原理例题
在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理。为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑。如：A=｛五〔1有两张圆纸片A、B。假设圆纸片A 的面积为30平方厘米，圆纸片B 的面积为20 平方厘米。这两张圆纸片重叠局部的面积为10 平方厘米，那么这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式〔1〕可以算出为：︱A∪B︱=30+20-10=40〔平方厘米〕。
五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？
分析 用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠局部表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：6
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4＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？
分析 把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
分析 两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是84＋86－25=144人，所以，这两个小组都不参加的人数是250－144=106人。
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
分析 由“16人不是四年级的〞可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的〞可知：12人是四年级和其它年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：〔16＋12－20〕÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20=24人。
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在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？
分析 显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－20=55人。
求在1 至100 的自然数中能被3 或7 整除的数的个数。
分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n 个连续自然数中有且仅有一个数能被n 整除。根据这个规律我们可以很容易地求出在1 至100 中能被3 整除的数的个数为33 个，被7 整除的数的个数为14 个，而其中被3 和7 都能整除的数有4 个。因而得到：