文档介绍：小波分析的形成
小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历了三个开展阶段：
Fourier变换阶段：
Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系小波分析的形成
小波分析是一门数学分支，是继Fourier变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历了三个开展阶段：
Fourier变换阶段：
Fourier变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。设信号，其Fourier变换为：
确定了在整个时间域上的频谱特性。但Fourier变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。
例：，其Fourier变换对应图如下：
短时Fourier变换阶段：
短时Fourier变换即加窗Fourier变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，到达时频局部化目的。其表达式为：
式中，为时限函数，即窗口函数，起频限作用，大致反映了在时、频率为的信号成分含量。
由上式，短时Fourier变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。
小波分析阶段：
为了克服上述缺点，小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细节上的分析。
小波的定义：
设 〔为能量有限的空间信号〕，其Fourier变换为，假设满足容许条件：
那么称为母小波，由容许条件可得：，说明具有波动性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.
以Marr小波为例，如下列图：
将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:
其中a为伸缩因子，b为平移因子。
a
以Marr小波为例，分别取伸缩平移因子a，、1、2、4；-1、0、1，对应图形如下:
Daubichies小波
常见的小波有Daubechies、Symlets、Morlet、Mexican Hat、Meyer小波等，其对应的图形及性质如下：
Daubechies小波是正交小波，没有解析表达式〔除Haar小波外〕。其简写形式为dbN，N表示阶数，支集区间为〔0，2N-1〕。
Symlets小波与db小波的差异是sym小波有更好的对称性。
Morlet小波不具备正交性，不存在紧支集，不能做离散小波变换，没有解析尺度函数，其小波函数为：
Mexican Hat小波不具有正交性，不存在尺度函数，是高斯函数的二阶导数，小波函数为：
Meyer小波为在频域定义的具有解析形式的正交小波，不存在紧支集，但其频谱有限，具有对称性。
小波函数的特点：
正交性：小波函数与自身内积为1，而与其伸缩平移后的小波系列内积为0。正交小波的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上，并且可以进行高效的离散小波变换。
对称性：不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真。
紧支性：具有紧支性的小波其小波函