文档介绍：衡水科技工程学校教师课时教案
系(部): 教师: 授课序号:
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授课标题:函数奇偶性
:理解函数奇偶性
:函数奇偶性
:函数奇偶性判定
:2课时
:,2,3
:
课后小结: 1. 奇偶性的概念
2. 判断中注意的问题
教案附页
教学过程:
备注
一. 引入新课
前面我们已经研究了函数的单调性
它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,?将从对称的角度来研究函数的性质.
对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?
(学生可能会举出一些数值上的对称问题, 等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)
结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于
轴对称的吗?
学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,,从形的特征中找出它们在数值上的规律.
讲解新课
2、对称点的坐标特征
如下图所示,点p(3 ,2)关于x轴的对称点是沿着x轴对折,得到与点;点p(3 ,2)关于y轴的对称点是沿y轴对折,得到的点;点p(3 ,2)关于原点o对称点是op绕原点o旋转180︒,得到。
一般地,设点p(a,b)为平面内的任意一点,则
(1).点p(a,b)关于X轴的对称点的坐标为(a,-b);
(2)点p(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b); (3)点p(a,b)关于原点0的对称点的坐标为(-a,-b).
例 1 .已知点p(-2,3),写出点p关于x轴的对称点的坐标。
(x,y),写出点p关于y轴的对称点的坐标与关于原点
o对称点的坐标.
=f(x),在函数图像上任取一点
p(a,f(a)),写出点p关y轴的对称点的坐标与关于原点o的对称点的坐标.
解 (-2,3)关于x轴的对称点的坐标为
(-2,-3)
(x,y)关于y轴的对称点的坐标为
(x,-y),点p(x,y)关于原点对称点的坐标为
(-x,-y).
(a,f(a)) 关于y轴的对称点的坐标为
(a,-f(a)),点p(a,f(a)) 关于原点0的对称点的坐标为(-a,-f(a))。
如果沿着y轴对折,对折后y轴两侧的图像完全重合. 函数图像上的任意一点p关于y轴的对称点p︑仍然在函数图像上,那么称函数图像关于y
轴对称,并把y轴叫做这个函数图像的对称轴.
当函数y=f(x)的图像关于y轴对称时,对任意,都有,且图像上任意点p(x,f(x)),关于y轴的对称点p︑(-x,f(x))-x的函数值为f(-x) ,所以f(-x)=f(x).对于函数的这个特性,给出如下的定义
设函数的定义域为数集D,如果对于任意的,都有,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.
偶函数的图像关于y轴对称,可以证明,图像关于y轴对称的函数为偶函数.
如果函数图像绕着原点旋转180︒,旋转前后的图像完全重合,即函数图像上任意一点p关于原点的对称点p'仍然在函数图像,那么称函数图像关于原点中心对称,并把原点叫做这个函数图像的对称
中心
。
函数的图像关于原点中心对称时,对任意的
都有-,且图像任意点p(x,(x))关于原点0的对称点p'(-x,-f(x))-x的函数值为f(-x),所以f(-x)=-f(x).对于函数的这个特性,给出如定义:
设函数的定义域为数集D,如果对于任意的,都有-,且f(-x)=-f(x),
那么函数f(x)叫做奇函数.
寄函数的图像关于原点0中心对称,可以证明,图像关于原点
0中心对称函数为奇函数.
如果一个函数是奇函数或偶函数,那么,.
由定义可以知道,判断一个函数是否具有奇偶性的基本方法是:
1、求出函数的定义域.
2、如果对任意的,都有-,则分别计算出f(x)与f(-x),,但,则函数肯定是非寄非偶函数.
当然,对于用图像法表示的函数,可以通过对图像对称性的观察来判断函数是否具有奇偶性.