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根本不等式
最新课程标准：掌握根本不等式≤(a，b≥0)．结合具体实例，能用根本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
知识点 根本不等式
(1)重要不等式：对于P时，≥，
所以x＋y≥2，
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)当和x＋y等于定值S时，≤，
所以xy≤S2，
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值S2.
积是定值，和有最小值．
和是定值，积有最大值．
教材反思
1．利用根本不等式求最值的策略
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2．通过消元法利用根本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用根本不等式求解．
特别提醒：利用根本不等式求函数最值，千万不要无视等号成立的条件．
跟踪训练2 (1)x>0，y>0，且x＋y＝8，那么 (1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
(2)假设正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，那么x＋2y的最小值( )
A．3 B．4
C. D.
解析：(1)因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，
(1＋x)·(1＋y)取最大值25.
(2)因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，
所以x＋2y＋2－8≥0.
设x＋2y＝t>0，
所以t＋t2－8≥0，
所以t2＋4t－32≥0，
即(t＋8)(t－4)≥0，
所以t≥4，
故x＋2y的最小值为4.
答案：(1)B (2)B
1．展开(1＋x)(1＋y)⇒将x＋y＝8代入⇒用根本不等式求最值．
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2．利用根本不等式得x＋2y＋2－8≥0⇒设x＋2y＝t>0，解不等式求出x＋2y的最小值．
易错点 利用根本不等式求最值
例 假设正数x，y满足x＋3y＝5xy，那么3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
【错解】 由x＋3y＝5xy⇒5xy≥2，
因为x>0，y>0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥.
所以3x＋4y≥2≥2＝，
当且仅当3x＝4y时取等号，
故3x＋4y的最小值是.
错误的根本原因是无视了两次使用根本不等式，等号成立的条件必须一致．
【正解】 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5，
当且仅当x＝1，y＝时取等号，
故3x＋4y的最小值是5.
答案：C
课时作业 8
一、选择题
1．给出以下条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．
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