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2矩阵
矩阵是学好线性代数这门课程的根底,而对于初学者来讲,对于矩阵的理 解是尤为的重要；许多学生在最初的学****过程中感觉矩阵很难,这也是由于对 相联系E(i(k))；
第J行的k倍加到第f行上去,记为E(j(k)i；
(2)初等矩阵的性质
初等阵是可逆阵,且逆阵仍为同型的初等阵: 而［E(iJ)r^ = E(ij) IE(涿))「=E(i 1 )
方阵A可逆与初等阵的关系
假设方阵4可逆,那么存在有限个初等阵片巴、…比,使
A =片马•比,
初等阵的行列式
|£(y)| = -t |E(讹))|*, |£(7(/r)0| = I
初等阵的作用:
对矩阵A进行一次初等行(列)变换,相当于用相应的初等阵
左(右)乘矩阵儿且
\E(ij}A\ = -|A|, \E(m)A\ = k\A\. \E(j(k)i)\ = |A|
矩阵的等价
(1)定义：假设矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B,那么称A与B等
价,
(2) A打B等价的三种等价说法,
®A经过一系列初等变换变到B； ②存在一些初等阵6…,厂使得E「・E\AFi…F严B
存在可逆阵P, Q,使得P4Q二B
,5分块矩阵
分块矩阵的定义
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
分块矩阵的运算
O)设A, B为同型矩阵,采用相同的分法有
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人1…
■- BJ
A =
沖21…
B =
%
…Bn
4|…
…Bz
(2) M = (^A>) (d = L2,・・・,$；7 = l,2, ・sO
⑶设A = 时B = ®治分块成
…AJ
飞\
…见
A =
・・.
B =
・..
Al
…Af >
Bi
其中AM⑺…4的列数分别等于如4门…冋的行数,那么
M=C =(5)〞,其中5=X^Bd = 123「"；j = 12 ・ J)
准对角阵
(1)定义：形如
人2
A为Hi阶方阵的矩阵称为准对角阵.
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人丿
(2)准对角阵的行列式及逆矩阵
1%
设心
,那么|a|Ta||aJ…卜小假设每个A可逆,那么A可
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人丿
逆,且
(3)特殊的准对角阵
3 ]
,假设如“2可逆,那么f =
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(ii) A =
,假设如必2可逆,那么=
lA-
是网hO」C|hO,那么|a| = |州q^O
岔-BScT
C-'
(iv) A =
0
CT
经典题型解析
‘1 …2、
‘2…1… '
2-..1
5'
、—1…2,
3…一1
1-1
^22 y
=c
那么c=
解：由4+1—a = 5得a=09 =4
而-1 +2h+6=-1 得 /?=-3, c「=・7
从而c =
1-1 -V
提示：对于最根本的矩阵的四那么运算我们一定要烂熟于心.
2、设A为三阶矩阵,且I心那么中,
、3
解：(-A)-=
2
易错提示：此题是道特别根本的有关矩阵根本性质的类型题,考生易犯的错
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误就是对矩阵进行行列式计算时,把(抻的阶数给忘记计算.
3、设A 为3x3 矩阵,B 为 4x4,且 |A| = I, |B| = -2,那么 =—.
解：BA =
易错题示：此题同上,但还应值得我们注意的是,在计算时
B\A=MA\ = {-2)\i = -2是我们常犯的错误.
4、设q = (l…2…3), 3 = (1…1…1),那么(屮5『=
解：M =(A『B)・(?VB)…(屮)…(B/f)B
1…1…1、
= 6^-*
2
(1-1
2…2…2
、3・・・3…3,
易错提示：此题关键是要求我们注意到是矩阵,但
…1…1) 2二6却是数,
3
1…1…1、
‘1…1…1 Y
倘假设先计算=
2…2・・・2
3…3・・・3 ‘
,然后再求
2…2…2
\3…3…3 /
,那么计算式相当繁琐的.
"1…0…1
5、设人=0…1…0 ,求(A)".
.0…0…1丿
解:
方法一：数学归纳法.
‘1…0…1、
‘1…0…2、
‘1…0…3'
由于A =
0…1…0