文档介绍：第3章线性控制系统的能控性和能观测性
线性连续系统的能控性
线性连续系统的能观测性
线性离散系统的能控性和能测观性
对偶原理
线性系统的能控性能观测性和传递函数阵的关系
系统的能控标准形和能观测标准形
实现问题
第3章线性控制系统的能控性和能观测性
能控性:u对X的控制作用。
概述
能观性:Y对X的观测能力。
u
u1
u2
R2
R1
C1
C2
R3
y
u对u1能控,
对u2不能控。
u1 、 u2为两个状态变量
u1不能观测,
u2能观测。
线性连续系统的能控性
状态能控性定义
设
定义:若系统对初始时刻t0(t0T)存在另一时刻t1,
X(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)
·
简记为:=( A(t), B(t))
( t1> t0, t1T),对t0时刻的初始状态X(t0),可以
找到一个控制矢量u,能在有限时间(t1–t0)内把系统从
某一状态X(t0)转移至任意指定的状态X(t1),那么就
称此状态X(t0)是能控的,若系统在状态空间中的所有
状态都是能控的,则称系统在(t1–t0)内是状态完全能控
的,简称状态能控,该系统称为状态能控系统。若不
满足上述条件系统是状态不能控的。
线性定常系统状态能控性判据
判据一
线性定常连续系统=( A, b),其状态完全能控的充
X(t)=AX+bu
·
要条件是能控性矩阵S=[b Ab A2b …An–1b]的秩为n,即
rank[b Ab A2b …An–1b]=n n:系统的维数
推导如下:
设t0=0,初始状态为X(0),终止状态X(t1)=0,系统
状态方程的解为
X(t)=eAtX(0)+
d
0
t
e A(t–) bu()
由系统能控定义及假设条件得
X(t1)=eAt1X(0)+
d
0
t1
e A(t1–) bu()
S为n×n方阵
X(t1)=eAt1X(0)+
d
0
t1
e A(t1–) bu()
X(0)= –
d
0
t1
e – A bu()
由凯莱—哈密顿定理将e – A表示为
e – A=ak(–)Ak
n–1
k=0
X(0)= –
d
0
t1
Akb
n–1
k=0
ak(–) bu()
令
d=k
0
t1
ak(–) bu()
Akb
n–1
k=0
则X(0)= –
k= –[b Ab A2b …An–1b]
0
1
•
•
n–1
(1)
若系统能控,对于任意给定的初态X(0)
能解出0、1…n–1, (1)式有解的充要条件
能控矩阵[b Ab A2b …An–1b]的秩为n。
对于系统=( A,B)
rank[B AB A2B …An–1B]=n
S为n×nm长方阵
可用rank[SST]判断
例:设系统状态方程为
x1
x2
x3
=
u1
u2
+
x1
x2
x3
2
1
– 1
·
·
·
1 3 2
0 2 0
0
1
3
1
1
– 1
试判断系统的状态能控性。
[B AB A2B]T
解:
[B AB A2B]
=
2 1 3 2 5 4
1 1 2 2 4 4
–1 –1 –2 –2 –4 –4
2 1 3 2 5 4
1 1 2 2 4 4
–1 –1 –2 –2 –4 –4
T
=
59 49 –49
49 42 –42
– 49
– 42
42
rank[SST]=2
系统状态不完全能控
判据二
线性定常系统=( A,B)具有互不相同的特征值,则其
状态完全能控的充要条件是系统经线性非奇异变换后,A
阵为对角线标准形状态方程
1 0 0 … 0
0 2 0 … 0
…
…
…
…
0 0 0 … n
X=
~
·
X+BU
~
~
其中B不包含元素全为零的行。
~
证明:
系统经线性非奇异变换后能控性保持不变
设线性变换阵P为n×n非奇异变换阵
X=PX
~
A= P–1AP B= P–1B
~
~
[P–1B P–1AP P–1B …(P–1AP )n–1P–1B]
[B AB A2B …An–1B]=
~
~
~
~
~
~
~
=P–1[B AB A2B …An–1B]
所以rabk
[B AB A2B …An–1B]=