文档介绍：§ 等比数列
高考数学
如果等比数列{an}的公比为q,那么它的通项公式为①    an=a1qn-1    .
设等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn=
§ 等比数列
高考数学
如果等比数列{an}的公比为q,那么它的通项公式为①    an=a1qn-1    .
设等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn=
如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且④    G=±      (ab>0).
知识清单
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(1)等比数列{an}满足 或 时,{an}是递增数列;满足
或 时,{an}=1时,{an}为常数列;当q<0时,{an}为摆
动数列,且所有奇数项与a1⑤ 同号    ,所有偶数项与a1⑥ 异号    .
(2)对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则等比数列中am,an,ap,aq的关系为⑦     am·an=ap·aq    .
(3)若{an},{bn}为等比数列(项数相同),则{λan}(λ≠0), ,{ },{an·bn},
仍是等比数列.
(4)当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件,这时k= .
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拓展延伸
等差数列与等比数列的关系:
(1)若{an}是正项等比数列,则{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1为首项,logaq 为公差的等差数列(q是{an}的公比).
(2)若{an}是等差数列,则{ }(b≠0)是以 为首项,bd为公比的等比数列
(d是{an}的公差).
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等比数列的基本运算
,q表示出来,在表示Sn时要注意判断q能否取1.
(组)求出a1,q,消元时要注意两式相除和整体代入(消元).
,q来求结论.
例1 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n 等于     .
方法技巧
方法
1
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解析 设等比数列{an},q>0,
∵S3n=14≠3Sn=6,∴q≠1.
依题意得 所以
因此S4n= =(-2)×(1-24)=30.
答案 30
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等比数列的判定与证明
:若 =q(q为非零常数)或 =q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),
则{an}是等比数列.
:若数列{an}中,an≠0且 =an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等
比数列.
:若数列的通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n ∈N*),则{an}是等比数列.
:若数列{an}的前n项和Sn=k-k·qn(k为常数且k≠0,q≠0, 1),则{an}是等比数列.
方法
2
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其中前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于填空 题中的判定.
若证明一个数列不是等比数列,只要证明存在相邻三项不成等比数列即 可.
例2 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13 后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列 是等比数列.
解题导引    
(1)由已知条件表示出b3,b4,b5 求出b1及公比 求出bn
(2)求出Sn 利用定义证明 是等比数列
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解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.
依题意,得a-d+a+a+d=15,
解得a=5.
所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.
依题意,有(7-d)(18+d)=100,
解得d=2或d=-13(舍去).
故b3=5,公比q= =2.
由b3=b1·22,即5=b1·22,
解得b1= .
所以{bn}是以 为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn= ·2n-1=5·2n- 3.
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(2)证明:数列{bn}的前n项和Sn= =5·2n-2- ,即Sn+ =5·2n-2,
所以S1+ = , = =2.
因此 是以 为首项,2为公比的等比数列.
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等差数列与等比数列的综合运用
,由等差数列设出数列的项(突出a1,d),利 用等比关系列方程求解,同样,等比数列中蕴含等差关系也如此解决.
,可简化运算.
,