文档介绍：模拟试卷(二)
一. 选择题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。
*1. 函数在点不连续是因为( )
A. B.
C. 不存在 D. 不存在
答案:C 不存在。
2. 设为连续函数,且,则下列命题正确的是( )
A. 为上的奇函数
B. 为上的偶函数
C. 可能为上的非奇非偶函数
D. 必定为上的非奇非偶函数
*3. 设有单位向量,它同时与及都垂直,则为( )
A. B.
C. D.
解析:
,应选C。
4. 幂级数的收敛区间是( )
A. B. C. D.
*5. 按照微分方程通解的定义,的通解是( )
A. B.
C. D.
(其中是任意常数)
解析:,故选A。
二. 填空题:本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分,把答案填在题中横线上。
6. 设为连续函数,则___________。
*7. 函数的单调递减区间是___________。
解析:
当时,,故y单调递减,故单调区间是(-2,1)
8. 设是的一个原函数,则___________。
*9. 设,则___________。
解析:
*10. 设,其中k为常数,则___________。
解析:

11. 设,则___________。
*12. 微分方程的通解为___________。
解析:方程改写为,两边积分得:

即
13. 点到平面的距离___________。
*14. 幂级数的收敛区间是___________(不含端点)。
解析:,收敛半径
由得:,故收敛区间是(-3,5)
15. 方程的通解是______________________。
三. 解答题:本大题共13个小题,共90分,第16题~25题每小题6分,第26题~第28题每小题10分,解答时应写出推理,演算步骤。
16. 求极限。
*17. 设,求。
解:

所以
*18. 求函数在区间上的最大值与最小值。
解:函数在处不可导,
令得驻点,求得
于是y在上的最大值为,最小值为
19. 求不定积分。
20. 设由方程确定,求。
21. 若区域D:,计算二重积分
。
*22. 求过三点A(0,1,0),B(1,-1,0),C(1,2,1)的平面方程。
平面方程为:
,即
*23. 判定级数的收敛性。
解:因为是公比的等比级数从而收敛,再考察级数
其中满足①,②
由莱布尼兹判别法知收敛,级数收敛。(两收敛级数之和收敛)
24. 求方程的一个特解。
*25. 证明:
解:

又

由<1>、<2>得:

26. 设为连续函数,且,求。
*27. 设抛物线过原点(0,0)且当时,,试确定a、b、c的值。使得抛物线与直线,所围成图形的面积为,且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。
解:因抛物线过原点(0,0),有
依题意,如图所示阴影部分的面积为

该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

令,得驻点:

由问题的几何意义可知,当,从而时,旋转体的体积最小,于是所求曲线为
*28. 求幂级数的和函数,并由此求级数的和。
解:令,则且有

又

于是
【试题答案】
一.
1. C 不存在。
2. C正确
例:,则在上非奇非偶,但。
3.
,应选C。
4.
故收敛区间是(-1,1),故选B。
5. ,故选A。
二.
6.
7.
当时,,故y单调递减,故单调区间是(-2,1)
8.

9.
10.

11.
12. 方程改写为,两边积分得:

即
13. 点到平面的距离公式为
所求
14. ,收敛半径
由得:,故收敛区间是(-3,5)
15. 特征方程为:,特征根为
通解为
三.
16. 解: