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一、知识总结
１ 张量概念
指标记法
哑标和自由指标的定义及性质
自由指标:在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标:一个行列式。若J处处不为0,则说明存在相应的逆变化，即:
张量的分量坐标转换规律
一阶张量
一阶张量在新老坐标系中的分解为：
ﻩﻩ（)
其中:
ﻩﻩ(）
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则:
ﻩﻩ（1．１4)
得到:
ﻩﻩ(１．15）
同理:
ﻩﻩ(）
得:
ﻩﻩ()
矢量是与一阶基矢相关联的不变量,可表示为一阶基矢的线性组合,此组合与坐标系的选择无关,故为一阶张量,标量为零阶张量。
１．5．２ 二阶张量
定义为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式:
ﻩﻩ（）
可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为:
ﻩﻩ（)
又：
ﻩﻩ（1．２０)
记:
ﻩ,ﻩ（）
则:
ﻩﻩ（）
该式表示 a 与 b 并乘为一个坐标不变量,称为二阶张量。记为：
ﻩﻩ(）
将式（)代入上式可得：
ﻩﻩ(1．2４）
此分量转换可进一步推广到高阶张量。
张量与坐标轴选择无关,故可独立于坐标系来表述。
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2 张量的代数运算
2．1 张量的加减
假如A、B为同阶张量,将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加(减）,得到的结果即为它们的和(差),记为,例如:
ﻩﻩ()
显然,同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。
标量与张量的积
张量A，标量λ,若,则:
ﻩﻩ（2．2)
张量的并积
两个同维不同阶(同阶)张量A、Ｂ的并积C是一个阶数为Ａ、B阶数之和的高阶张量。
ﻩﻩ()
ﻩﻩ（2．4)
ﻩﻩ(2．5)
式(）中：
ﻩﻩ(２．6）
2．４ 张量的缩并
若对某张量中任意两个基矢量求点积,则张量将缩并为低二阶的新张量。，有。取不同基矢量点积,缩并结果不同。
张量的点积
两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。如下:
ﻩﻩ(2．7)
ﻩﻩ()
ﻩﻩ（)
其中,
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ﻩﻩ()
指标的转换
对于张量,若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如下式所示:
ﻩﻩ()
指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：
ﻩﻩ(2．12）
张量的商法则
张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量Ｕ,即在任意坐标系内以下等式成立,则T必定是一个ｐ+q阶的张量。以上规则称为张量的商法则。
３ 二阶张量
二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。
３．1 二阶张量的矩阵
(1) 任何一二阶张量T总可以按其分量写成矩阵形式:
ﻩﻩ(）
二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。首先,矩阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中,转置张量与转置矩阵、对称（或反对称)张量与对称(或反对称)矩阵不能一一对应;第三,二阶