平面向量在几何中的应用举例.docx

文档介绍：平面向量在几何中的应用举例
以向量为工具，可以将几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，使问题思路更简明，形象直观，从而较易解决几何问题．下面就平面向量在解几中的应用说明如下：
变式练****在平行四边形ABCD平面向量在几何中的应用举例
以向量为工具，可以将几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，使问题思路更简明，形象直观，从而较易解决几何问题．下面就平面向量在解几中的应用说明如下：
变式练****在平行四边形ABCD中，如图３，点M是AB
A
B
C
　D
Ｍ
Ｎ
的中点，点N在线段BD上且有BN=BD，
求证：Ｍ、Ｎ、Ｃ三点共线．
答案提示：设＝a，＝b，则a，
a＋b，又( b－a)，　
故a＋( b－a)＝a＋b＝（a＋b）＝．
又共点Ｍ，所以Ｃ、Ｎ、Ｍ三点共线．
２．证明垂直问题
　　解：建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为１，
　　，则
∴，，
∵＋＝０，
∴，即PA⊥EF．
点评：对于条件中出现垂直较多或对称关系较多，一般要考虑坐标法，尤其是问题中涉及求边长、周长、面积等问题时，更能引起我们朝这方面来思考．坐标法是将某些几何位置关系转化为代数运算，避免了繁杂的思维活动过程，降低了题目难度，利于解题．
３．解证比值问题
例３　如图２，设点Ｇ是的重心，＝a，＝b，
图３
Ｃ
Ｂ
Ｇ
Ｐ
A
Ｑ

过点Ｇ的直线分别与线段AB，AC相交于P，Q两点，
设a，b（是正实数）．
求证：当直线绕点Ｇ旋转时为定值．
证明：设直线AG与BC相交于点M，
则M是线段BC的中点．
∵点G是的重心， ∴( a＋b)= ( a＋b) ①
∵P、G、Q三点共线， ∴与共线．
设=，则
a＋b ②
∵a与b不共线， ∴由①、②得
，消去，得＝３．故为定值．
变式练****如图，在中，点Ｍ是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，
AM与BN相交于点P， 求AP：PM的值．
答案提示：设＝，＝，A
B
C
M
Ｐ
N
则－3－
=2＋． 又A，P，M和B，P，N分别共线
∴存在，使－