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解析几何题型
命题趋向：解析几何例命题趋两焦点的距离之和为10.
（1）求圆C的方程；
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（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
则 解得
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得 ， ．
椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ;
假设存在Q点使,
．
整理得 ， 代入 ．
得: , ．
因此不存在符合题意的Q点.
例8．如图,，以
为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于 A 与点B. 直线
AB 与 x 轴相交于点C.
（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为,求证：直线CD的斜率为定值.
[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的
两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系
，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.
[解答过程]（I）由题意知，
因为
由于 （1）
由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为
又因点A在直线BC上，故有
将（1）代入上式，得解得 .
（II）因为，所以直线CD的斜率为
，
所以直线CD的斜率为定值.
例9．已知椭圆，AB是它的一条弦，是弦AB的中点，若以点为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点，若椭圆离心率e和双曲线离心率
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之间满足，求：
（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程.
解答过程：（1）设A、B坐标分别为，
则，，二式相减得：
，
所以，， 则；
（2）椭圆E的右准线为，双曲线的离心率，
设是双曲线上任一点，则：
，
两端平方且将代入得：或，
当时，双曲线方程为：，不合题意，舍去；
当时，双曲线方程为：，即为所求.
小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.
考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.
典型例题：
例10．双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q点的坐标.
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为,
由椭圆,求得两焦点为，
对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线
解得 ，
双曲线的方程为
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线的斜率存在且不等于零.
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设的方程：，,则.
,.
在双曲线上， .
同理有：
若则直线过顶点，不合题意.
是二次方程的两根.
,，此时.
所求的坐标为.
解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程，，则.
， 分的比为.
由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，则.
， .
， ，，
又， ,即.
将代入得.
，否则与渐近线平行.
.
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