文档介绍：
和一般的方阵相比, 实对称矩阵具有更好的性质: 性质2: 设方阵A是实对称矩阵, 则有 1) A的全部特征值均是实数; 2) A的不同特征值所对应的特征向量不但线性无关, 而且相互正交; 定理2: 设A为n阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P, 使 P-1AP=L=diag(l1,l2,L,ln) 其中 l1,l2,L,ln为A的特征值.
说明:
1) 定理2表明, 任何实对称矩阵A都能对角化为一个对角矩阵L,而且L的主对角线元素就是A的特征值, 同时说明A是非亏损矩阵; 2) 定理2的证明采纳数学归纳法易于学生理解; 3) 强调这里的矩阵P不仅可逆,,第一问题已经得到了圆满的解决,下面通过举例说明如何求正交矩阵, 使实对称矩阵对角化,这也是本节刚起先提出的其次个问题.
æ400öç÷例1 设 A=ç031÷
ç013÷èø求一正交矩阵P, 使PAP=: -1l-4lI-A=0000-1=(l-2)(l-4) l-32l-3-1由此得A的特征值为 l1=2,l2=l3= l1=2 时, 解方程组(2I-A)x=0 得一个基础解系 h1=(0,1,-1), 将其规范化得
T1öæ1p1=ç0,,-÷
22øè当l2=l3=4 时, 解方程组(4I-A)x=0 得一个基础解系
h2T=(1,0,0), h3=(0,1,1)
TT由于h2,h3恰好正交, 所以只要规范化为
æ11öp=1,0,0p=,() 2, 3ç0,÷
22èøTT因此
æç0çç1P=(p1,p2,p3)=çç2ç1ç-2è并且
PAP=diag(2,4,4) -1100ö0÷÷1÷ ÷2÷1÷÷2ø由这个例子可见, 对于实对称矩阵A, 求一个正交矩阵P, 使得PAP=L的步骤如下: 第一步 求A的特征值; 其次步 , 只需将属于它的特征向量规
-1范化; 对r重特征值,须要先求出属于它的r个线性无关的特征向量, 然后对这r个特征向量进行正交规范化, 这样就可以得到n个两两正交的单位特征向量; 第三步 以正交规范化的特征向量为列组成矩阵, 它就是要求的正交矩阵P, 使
P-1AP=L, : 由于方程组(lI-A)x=0 的基础解系不唯一, , 对应于l1=2的单位特征向量可取为
11öæ, p1=ç0,-÷ 22øè对应于l2=l3=4的基础解系可取为
h2T=(1,1,1), h3=(-1,1,1)
TT由于h2,h3不正交, 所以需先正交化, 取
x2=h2,
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