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平面向量的基本定理及坐标表示
[考试要求]
，
所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.
因为＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b.
所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，
得解得
故λ＝.
点评：本例(2)在求解中，以D，E，C三点共线为切入点，借助∥及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设＝x＋(1－x)，利用＝＋及同基底下向量表示的唯一性求得λ.
1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1
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D [选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；
选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．故选D.]
2．(2020·三明模拟)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
B [由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得＝u＋v成立，且u＋v＝1.
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足＝u＋v，且u＞0，v＞0，u＋v＞1.
∵1＋2＞1，∴点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.]
考点二 平面向量的坐标运算
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
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[典例2] (1)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
①求3a＋b－3c；
②求M，N的坐标及向量的坐标．
(1)D [以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，
c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴
解得λ＝－2，μ＝－.
∴＝4.]
(2)[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
②设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
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∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．
1．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，＝(2，－3)，则点D的坐标为( )
A．(6,1) B．(－6，－1)
C．(0，－3) D．(0,3)
A [＝(－3，－2)＝，∴＝＋＝－＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A.]