文档介绍：复数学问点细心总结
复 数 知 识 点
考试内容：
. 复数的概念．
复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充．
考试要求：
明白复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
把握复数代数形式的运算法就,能程的复数形式：
① z z 0
r 表示以
z 0 为圆心, r 为半径的圆的方程 .
② z z1
z z2
表示线段
z1 z2 的垂直平分线的方程 .
③ z z1
z z2
2a（ a
0且2a
z1 z2 ）表示以
Z 1,Z 2 为焦点,长半轴长为 a 的椭圆的方程
（如 2a
z1z2
,此方程表示线段
Z 1,Z 2 ）.
④ z z1
z z2
2a（0 2a
z1 z2 ）,表示以
Z1,Z 2 为焦点,实半轴长为 a 的双曲线方程
（如 2a
z1z2
,此方程表示两条射线） .
⑶肯定值不等式：
设z1,z 2 是不等于零的复数,就
① z1 z 2
z 1 z 2
z1 z2 .
左边取等号的条件是 z 2
z1（
R,且
0）,右边取等号的条件是 z 2
z1（ R,
0）.
② z1 z 2
z 1 z 2
z1 z 2 .
左边取等号的条件是 z 2
z1（ R,
0）,右边取等号的条件是 z 2
z1 （ R,
0）.
注： A1 A 2
A 2 A 3
A 3 A 4
A n 1 A n
A1 An .
共轭复数的性质：
z z 2a , z z
2bi
（ z a + bi ）
z z | z |2
| z |2
z1 z1
z2 z2
（ z2 0）
zn 〔z〕 n
注：两个共轭复数之差是纯虚数 . （×） [ 之差可能为零,此时两个复数是相等的 ]
n
4 ⑴①复数的乘方： z
z z z...z〔n N 〕
n
②对任何 z ,
z1 , z2
C 及 m, n N 有
③ zm zn
zm n , 〔 zm〕n
zm n, 〔z1
z2〕 n n n
z
z
1 2
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否就会得到荒谬的结果,如 i 2 1,i 4 1
如由 i 2
1 1
〔i 4 〕 2 1 2
1就会得到
1 1的错误结论 .
②在实数集成立的
平方法.
⑵常用的结论：
| x |
x2 . 当 x 为虚数时,
| x |
x2 ,所以复数集内解方程不能采纳两边
如 是 1 的立方虚数根,即
1 3 i ,
n
1
3 2 1 2 n 2 2
就 1, , ,1
0, .
n 2 0〔 n Z 〕
⑴复数 z 是实数及纯虚数的充要条件：
① z R z z .
②如 z
0 , z 是纯虚数
z z 0 .
⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数 . 特例：