文档介绍：不变量的构造与运用
一、选择题
1. 已知函数
，则
的值等于
A.
B.
C.
D.
二、解答题
2. 对于项数为
的有穷数列
的最大值；
(3) 对所有满足性质
的 行 列的数表
，求
的最大值．
答案
第一部分
1 C
第二部分
2 (1)
数列
为：
；
；
；
；
．
(2)
因为
，
，
所以
．
因为
，
，
所以
，即
．
因此，
．
3 (1)
或
或
或
．
(2)
；
．
(3)
考虑数列
，满足
的数对
的个数，我们称之为 “顺序数 ”．
则等差数列
：
的顺序数为
，等差数列
：
的顺序数为
．
首先，证明对于一个数列，经过变换
，数列的顺序数至多增加
．
实际上，考虑对数列
，交换其相邻两段
和
的位置，变
换为数列
．
显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即
由
变为
．
分别将三个不等式相加得
与
，矛盾．
所以经过变换
，数列的顺序数至多增加
．
其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变
．（因为交换的相邻两段的前后的数的元素顺
序不变，即上面的
、
与
、
的大小顺序不变，只有
与
的顺序改变．）
设
的最小值为
，则
，即
．
最后，说明可以按下列步骤，使得数列
为
．
对数列
，
第
次交换
和
位置上的两段，得到数列
：
第
次交换
和
位置上的两段，得到数列
：
第
次交换
和
位置上的两段，得到数列
：
以此类推，
第 次交换
和
位置上的两段，得到数列
：
最终再交换
所以 的最小值为
4(1) 设
和
．
位置上的两段，即得
：
．
因为
从而
又
，所以
由题意知
当
时，
当
时，
所以
设
记 ，由（ 1）可知
，
，
，
所以
中 的个数为
，
中
的个数为 ．
设
是使
成立的
的个数，则
．