文档介绍：.
利用法向量解立体几何题
、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线
a,b所成角0，只要在两条异面直线a,b上各任取一个向量
AA和BB'，则角<AA',BB'>=0或n-0,因为0
a内任取一点B,则直线a到平面a的距离
d=LA^n1
|n|
4、求两平行平面的距离设两个平行设平面a、3的公共法向量法为n
=(x,y,1),在平面a、3内各任取一点A、
B，则平面a到平面3的距离d=|AB*n||n|
三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线a和平面a、3,两个面a、TT3的法向量为口，n2，则
四、应用举例：
例1:(04年高考广东18)如右下图，在长方体ABCD—A^iCiDi中，已知AB=4,AD=3,AAi=、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值；
(2) 求直线EC1与FD1
解：(I)以A为原点，斤成的余弦值斗.
AB,AD,AA分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，
贝VD(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)
，于，是L,DE=(3,-3,0)^EC^(1,3,2),FD^(^,2,2)设法向量n=(x,y,2)与平面C1DE垂直，则有
n_DEI3x-3y=0I_x=y=-1
n「EGx3y2zn(^^-1,2),
：向量AA1=(0,0,2)与平面CDE垂直，
J
Al
z
DI
/
C
/
A"
D.
'-
7
/
F
c
-DE-C1的平面角_76DAlCE*AA
COSv=|n|讨AA1|
tan)-10—1022J114<004
1=(M)+3^2+2疋2
IEC1IFFD1I
|j12+32+22H&r)2十22+22
COS:
142
(II)设EC1与FD1所成角为3，则
II
例2:(04年高考辽宁卷17)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，/DAB=600,
PD丄平面ABCD,PD=AD，点E为AB中点,
点F为PD中点。
(1)证明平面PED丄平面PAB;
(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值
证明：(1厂••面ABCD是菱形，/DAB=600,•••△ABD是等边三角形，又E是AB中点,连结BDB•••/EDB=300,/BDC=60°,「./EDC=900,
如图建立坐标系D-ECP,设AD=AB=1,则PF=FD=1,ED=二，22
•PB=(3
2
•P(0,0,1),E(―,0,0),B2
（子，0，-1），
平面PED的一个法向量为DC=（0,1,0)，设平面PAB的法向量为n=(x,y,1)[731(x,y,1)<,,-1)=022
,0,-1^02
丁1——x__y_1=022(x,y,1)<
2x=
3y=0•n=(一?0,1)•/DC•n=0即DC丄n•••平面PED丄平面PAB（2）解：由（1）知：