文档介绍：学必求其心得，业必贵于专精
空间向量 ( 一)
—--空间向量及其线性运算、共面向量定理
编制 :邱明朗 审核：陈燕华日期： 4/15
【学习目标】
1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其
a ? b
b ? a
a ? b
( a) ? b a ?( b)
(a ? b)
( a b) ? c a ? c b ? c
x1x2 y1 y2
a2 | a |2 ,| a |
x2
y2
| a ?b |
| a ||b |
（2）两个向量平行
a // b
；(向量表示）
；（坐标表示）
若 a ( x1 , y1 ), b
( x2 , y2 ) ，则 a // b
（3）两个非零向量垂直
⑴ a b
；（向量表示 )
；（坐标表示）
⑵ 若 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ，则 a b
二、小组合作，建构数学
1．空间向量的概念：
在空间 ,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量
注:⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相
等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
学必求其心得，业必贵于专精
定义：与平面向量运算一样 ,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
OB OA AB a b BA OA OB a b OP a ( R)
运算律：⑴加法交换律 :a ⑵加法结合律：⑶数乘分配律：
3．共线向量
b b a
(a b ) c a (b c)
(a b ) a b
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相
平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 ． a 平行于 b 记作
a // b ．
当我们说向量 a 、 b 共线（或 a // b ）时 ,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理
共线向量定理 :空间任意两个向量 a 、 b (b ≠ 0 )， a // b 的充要条件是存在实数 λ，使 a ＝λb .
5．共面向量的定义
一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；
理解 :若 a,b 为不共线且同在平面 内，则 p 与 a,b 共面的意义是 p 在
内或 p //
6．共面向量的判定
平面向量中，向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 b a ，类比到空间向量，
即有共面向量定理 如果两个向量 a,b 不共线 ,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在有序实数组 ( x, y) ，使得 p xa yb
这就是说，向量 p 可以由不共线的两个向量 a,b 线性表示。
三、学习展示 ,运用数学
例 1、如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中,M 是 BB1 的中点，化简下列各式 ,并