文档介绍：数学思维方法
数学思维方法
第一节数学思维和思维过程
一、数学思维及其类型

思维是人脑对客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映。思维是人类所特有的一种高级的心进行分析、研究和追忆，往往是十分困难的，这又使直觉思维给人一种“神秘感”。
数学直觉和数学灵感是数学直觉思维的两种形式，它们之间具有深刻的本质联系，即灵感是直觉的更高发展，是一种突发性的直觉。通常灵感的形成是从多次的直觉受阻或产生错误的情况下得到教益，而使一部分信息不自觉地转入潜意识加工，最终又在某种意境或偶发信息的启发下，由潜意识跃入显意识而爆发顿悟的，因此数学思维灵感是从多个数学直觉中升华而形成的结晶。
形象思维、逻辑思维、直觉思维是数学思维的三种基本类型，形象思维是数学思维的先导，逻辑思维是数学思维的核心。在进行具体的数学思维活动时，往往是这两种思维交错应用的一个综合过程。直觉思维则是以上两种思维的结合，达到一定数量后所引起的一种质的飞跃。因此，如果形象思维和逻辑思维发展得好，就为发展直觉思维创造了条件。
第二节数学思维的一般方法
数学思维的一般方法指数学思维过程中常运用的基本方法。从数学活动过程来看，数学思维方法大体上可分为两个层次：经验性思维方法，包括观察、实验、类比、不完全归纳和抽象等，这一层次的思维方法在数学的发现过程中表现得尤为突出；逻辑思维方法，常用在数学的推理和论证中，包括化归、演绎、分析、综合、形式化和公理化等。因此，从整个教学活动的过程来看，可分为数学发现的思维方法和数学论证的思维方法。
一、观察和实验
观察和实验是发现与解决问题中最形象、最具体的手段之一。在一般的科学活动中，观察与实验是极为重要的科学方法。观察与实验是收集科学事实，获取科学研究第一手材料的重要途径，是形成、论证及检验科学理论的最基本的实践活动。
观察法是指人们对周围世界客观事物和形象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系，从而获得经验材料的一种方法。
通过在数学教学中培养学生的观察和实验能力，可以使学生掌握和运用观察和实验的能力，利用学生的个体经验，运用数学解决问题的能力和对数学的兴趣及信心。
在数学研究中，通过观察与实验不仅可以收集新材料、获得新知识，而且常常导致数学的发现与理论的创新。观察与实验方法在数学中的运用可以大体分为两个层次：一是运用观察和实验来解决和验证数学理论；二是运用观察和实验方法来解决具体的数学问题。在中学数学教学中，就是要运用观察和实验方法来解决一些具体的数学****题。
在中学数学教学中，数学观察与实验主要被用来观察实际生活中存在的数量问题、空间结构问题。比如作简单的几何图形，观察几何图形的相互位置，从这些观察中自己动手去做、去实践，并得出一些数学结论。
在数学教学中，为了更好地使学生掌握知识、培养他们的创新意识和能力，要尽可能地再现数学知识和结论的发现过程。因此，观察与实验应成为数学教学中探索、学****知识的重要方法和开展实践活动的主要形式。
二、类比和猜想
类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征；复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测。
类比是发现问题和解决问题的一种常用思维形式。在中学数学中，常用的类比包括平面与空间的类比、数与形的类比、有限与无限的类比等。两个数学对象结构相似，是类比的出发点和关键。
猜想往往伴随着类比、归纳的思维过程，由于类比和不完全归纳所得的结论不一定正确，所以猜想的数学命题或结论应当采用严格的方法去证明它，或者用实例反驳它。
三、归纳与演绎
归纳是通过对某类数学对象中若干特殊情况的分析得出一般性结论的思维方式。归纳分为不完全归纳和完全归纳两种类型。
演绎是由一般性前提推出特殊性结论的思维方法。通常，在依据已知的事实或真命题去进行推理的方式都是演绎推理。演绎推理是数学证明中最常用的严格推理形式，它对于训练学生的技能技巧，发展学生的逻辑思维能力均有重要的作用。
在解决数学问题时，归纳与演绎两种思维方法往往交替出现，由归纳法去猜测问题的结论或猜测解决问题的方法，再用演绎去完成严格的推理证明。
四、分析与综合
分析法是指要证明一个命题是正确的，思考问题时可以由结论向已知条件逐步追溯。即先假设命题的结论成立，推出它成立的原因，再把这些原因看出新的结论，再推求使它们成立的原因，如此逐步往上追溯，直到推出