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本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群483122854-12,y2,
联立x=my+12,y2=2x, 得y2-2my-1=0,∴y1y2=-1.
kl=kQF=-y2,则直线l:y-y1=-y2(x-x1),
设直线l与PQ交于点R,令x=-12得
yR=y1-y2-12-x1=y1+y22+y2x1
=y1+y22+y2y122=y1+y22-y12=y1+y22,
∴直线l经过PQ的中点.
方法二:如图,延长AR,BQ,交于点S,
由抛物线定义知|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|,
∵AS∥QF,∴|BS|=|BA|,从而|SQ|=|AF|=|AP|,
易知Rt△RSQ≌Rt△RAP,∴R为PO的中点.
(2)设AB,PQ与x轴的交点分别为D,E,A(x1,y1),B(x2,y2),
则S△PQF=12|EF|·|y2-y1|,S△ABF=|FD|·|y2-y1|,
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,
∴|EF|=2|FD|,∴点D(1,0).
设直线AB:x=ny+1,设AB中点M(x0,y0),
联立x=ny+1,y2=2x,得y2-2ny-2=0,∴y1+y2=2n,y1y2=-2,
则y0=y1+y22=n,
x0=x1+x22=y12+y224=(y1+y2)2-2y1y24=4n2+44=n2+1=y02+1,
即AB中点的轨迹方程为x=y2+1.
[总结](1)弦长
①焦点弦:定义法.
②一般弦:
直线y=kx+b被二次曲线截得线段PQ,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立一、二次曲线的方程得出Ax2+Bx+C=0(Ay2+By+C=0),则|PQ|=1+k2·|x1-x2|=1+1k2·|y1-y2|=1+k2·Δ|A|.
(2)三角形的面积
直线与二次曲线交于A,B两点,则△PAB的面积S=12·|PA|·|PB|·sin∠APB,
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S=12·d·|AB|(d为第三个顶点到直线AB的距离),S=12·h横线段长·|y1-y2|=12·h纵线段长·|x1-x2|.若AB=(x1,y1),AC=(x2,y2),则S=12·|x2·y1-x1·y2|.
(3)四边形ABCD的面积
对任意四边形ABCD的面积,若AC,BD的夹角为θ,则S=12·|AC|·|BD|sin θ;若AC⊥BD,则S=12·|AC|·|BD|.
“翻译”
例2 设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
解:(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为1,22或1,-22,
∴AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.
(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,
∴∠OMA=∠OMB.
当l与x轴即不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2.
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得,kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)·(x2-2),
将y=k(x-1)代入x22+y2=1得
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
∴x1+x2=4k22k2+1,x1·x2=2k2-22k2+1,
则2kx1·x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0,
从而kMA+kMB=0,故MA,MB倾斜角互补.
∴∠OMA=∠OMB.
综上,∠OMA=∠OMB.
[点评]遇到角相等“翻译”时:
①先观察角是哪些直线的倾斜角,能转化为哪些直线的倾斜角;
②直线之间的对称关系是什么;
③转化为斜率关系来求解,以平行于x轴或y轴的线(包括x轴,y轴)为角平分线的两条直线