文档介绍：2017 年1月1日星期日问题 1:具有什么性质的点的轨迹称为圆? 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆. 问题 2:图中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆的什么特点? 圆心 C是定点,圆周上的点 M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r ,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小. 问题 3:求曲线的方程的一般步骤是什么? 其中哪几个步骤必不可少? (1)建立适当的坐标系,用有序实数对例如( x,y )表示曲线上任意一点 M的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M的集合 P={ M|p(M )}; (3)用坐标表示条件 p(M ),列出方程 f(x,y )=0 ; (4)化方程 f(x,y )=0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 其中步骤(1)(3)(4) 必不可少. 下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程. ( , ) C a b r 求圆心是,半径是的圆的方程。解:设 M(x,y )是圆上任意一点, x yO. r M 根据圆的定义|MC|=r C 由两点间距离公式,得???? 2 2 x a y b r ? ???①把①式两边平方,得???? 2 2 2 x a y b r ? ???说明: :明确给出了圆心和半径。 。练****1)圆心在圆点,半径是 3; (3)经过点 P(5,1) ,圆心在点 C(8,-3) 2 2 9 x y ? ????? 2 2 3 4 5 x y ? ???(2)圆心在点 C(3,4) ,半径是; 5 ???? 2 2 8 3 25 x y ? ???练****1)?? 22 1 6 x y ? ??(2)???? 2 2 1 2 9 x y ? ???(3)?? 2 2 2 x a y a ? ???? 1, 0 6 ( -1,2)3??, 0 | | a a ?例 C(1,3) 为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程。解:设所求圆的方程为(x-1) 2 +(y-3) 2 =r 2 因为圆 C和直线 3x-4y-7=0 相切, 所以圆心到直线的距离等于半径 r Cx yO r 根据点到直线距离公式,得 2 2 3 1 4 3 7 165 3 ( 4) r ? ???? ?? ?因此,所求的圆的方程是???? 2 2 256 1 3 25 x y ? ???练****并与直线 4x+3y-70=0 相切,求圆的方程。 2 2 196 x y ? ?例 x 2 +y 2 =r 2,求经过圆上一点 M(x 0 ,y 0) 的切线的方程。解:如图, x yO. M(x 0 ,y 0) 设切线的斜率为 k 半径 OM 的斜率为 k 1,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 11kk ?? 010ykx ?? 00xky ? ??经过点 M的切线方程是?? 0 0 0 0x y y x x y ? ???整理得, x 0 x+y 0 y=x 0 2 +y 0 2因为点 M(x 0 ,y 0)在圆上,所以 x 0 2 +y 0 2 =r 2 所求切线方程是 x 0 x+y 0 y=r 2当点 M在坐标轴上时,可以验证上面方程同样适用。例2 已知圆的方程是,求经过圆上一点的切线的方程。 222ryx??),( 00yxMP (x , y) ),( 00yxM 由勾股定理: | OM| 2 +|MP| 2 =|OP| 2 解法二(利用平面几何知识): 在直角三角形 OMP 中 yx O x 0x +y 0 y = r 2